光子学报  2018, Vol. 47 Issue (7): 0712002  DOI: 10.3788/gzxb20184707.0712002
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引用本文  

张齐元, 韩森, 唐寿鸿, 王全召, 姜志华. 离焦位置任意波长透射波前Zernike系数算法研究[J]. 光子学报, 2018, 47(7): 0712002. DOI: 10.3788/gzxb20184707.0712002.
ZHANG Qi-yuan, HAN Sen, TANG Shou-hong, WANG Quan-zhao, JIANG Zhi-hua. Estimation of Zernike Coefficients for Any Wavelength Transmitted Wavefront at Defocus Position[J]. Acta Photonica Sinica, 2018, 47(7): 0712002. DOI: 10.3788/gzxb20184707.0712002.

基金项目

国家重点研发计划(No.2016YFF0101903)资助

第一作者

张齐元(1987-), 男, 博士研究生, 主要研究方向为光学设计.Email:zhangqy@hl-instruments.com

通讯作者

韩森(1961-), 男, 教授, 博士, 主要研究方向为干涉测量技术.Email:senhanemail@126.com

文章历史

收稿日期:2018-01-21
录用日期:2018-03-20
离焦位置任意波长透射波前Zernike系数算法研究
张齐元 1, 韩森 2,3, 唐寿鸿 2,4, 王全召 4, 姜志华 5     
(1 长春理工大学 光电工程学院, 长春 130022)
(2 上海理工大学 光电信息与计算机工程学院, 上海 200093)
(3 苏州慧利仪器有限责任公司, 江苏 苏州 215123)
(4 苏州维纳仪器有限责任公司, 江苏 苏州 215123)
(5 上海市计量测试研究院 机械与制造计量技术研究所, 上海 201203)
摘要:基于Zernike多项式波前拟合法,提出计算离焦位置任意波长透射波前Zernike系数的算法,在聚焦位置Zernike系数基础上补偿离焦距离内Zernike系数变化量.以典型的消色差望远物镜为例,根据设计波长及权重优化其工作位置,计算不同波长的聚焦位置与工作位置的离焦量,使用该算法验证消色差系统工作位置任意波长Zernike系数.与在工作位置直接使用Conrady-Zernike公式对比表明,该算法对于与位置有关的Zernike系数计算效果明显,Z1的绝对误差由6.78降低到了1.41,Z4的绝对误差由6.83降低到了1.45.
关键词波前检测    Zernike系数    离焦    波长    消色差    
中图分类号:O436.1      文献标识码:A      文章编号:1004-4213(2018)07-0712002-8
Estimation of Zernike Coefficients for Any Wavelength Transmitted Wavefront at Defocus Position
ZHANG Qi-yuan 1, HAN Sen 2,3, TANG Shou-hong 2,4, WANG Quan-zhao 4, JIANG Zhi-hua 5     
(1 School of Optoelectronic Engineering, Changchun University of Science and Technology, Changchun 130022, China)
(2 College of Optical-Electrical and Computer Engineering, University of Shanghai for Science and Technology, Shanghai 200093, China)
(3 Suzhou H & L Instruments LLC, Suzhou, Jiangsu 215123, China)
(4 Suzhou W & N Instruments LLC, Suzhou, Jiangsu 215123, China)
(5 Division of Mechanics and Manufacture Measurement Technology, Shanghai Institute of Measurement and Testing Technology, Shanghai 201203, China)
Foundation item: The National Key Research and Development Program of China(No.2016YFF0101903)
Abstract: Based on Zernike polynomials fitting wavefront, an algorithm of calculating Zernike coefficients for any wavelength transmitted wavefront at defocus position was put foward. The method compensates the change of Zernike coefficients of defocus distance based on Zernike coefficients at focus position. Using an achromatic system, the working position was optimized according to the wavelengths and weights, and the defocusing amount between focus position and working position was calculated, and the any wavelength wavefront Zernike coefficients at working position was verified by the algorithm. The result showed that the proposed algorithm is effective for calculating Zernike coefficients related to position, compared with using Conrady-Zernike formula in working position, the absolute error of Z1 decreased from 6.78 to 1.41, and the absolute error of Z4 decreased from 6.83 to 1.45.
Key words: Wavefront testing    Zernike coefficients    Defocus    Wavelength    Achromatic    
OCIS Codes: 120.3180;160.4760;220.4840;260.3160
0 引言

随着光学设计与加工技术的快速发展,高性能的光学系统广泛应用于工业检测、光通信、数码产品等各个领域.对于性能较好的光学系统,波像差比几何像差能更好地反应其质量.在波前检测的主要手段中,激光干涉仪以检测精度较高成为行业标准[1].为了便于描述波前,检测结果通常以一组Zernike多项式线性组合表示,并且Zernike多项式与初级像差有一定的对应关系[2-5],可以用于分析波前像差,因此商用激光干涉仪测试分析软件中一般都集成Zernike多项式拟合功能.根据干涉测量原理,激光干涉仪需要使用相干性好的单色光源,所以只能准确检测特定波长波前.受成本和技术等原因限制,现阶段用于波前及面形检测的商用化激光干涉仪主要以632.8 nm为主,美国ZYGO和4D等主要干涉仪厂家会根据客户要求定制一些特殊波长激光干涉仪,如405 nm激光干涉仪检测DVD透镜,1 550 nm激光干涉仪检测光通讯系统等.但是这些特殊波长激光干涉仪种类极其有限,并且只针对特定光学系统检测,这意味着仍有很多光学系统在其工作波段范围内的波前没有对应的检测仪器,极大地限制了激光干涉仪在光学系统波前检测的应用.在实际检测中,目前通行的办法是将波前检测结果采用波长等比例缩放的方式转为其它波长波前[6],这样得到的数据准确度不高,只具有一定的参考价值,无法满足现代高精度测量的要求.

基于上述原因,本课题组提出了一种间接检测任意波长透射波前的方法.基本思路是将光学系统特定波长波前拟合为各项Zernike系数,利用Zernike系数与波长的函数关系,计算出其它波长时各项Zernike系数,再将其拟合为其它波长波前[7-8].通过对一个单波长系统进行仿真模拟,采集其理想状态和含有几种误差状态的不同波长Zernike系数,采用曲线拟合和求解验证的方法,确定了Conrady-Zernike公式,即透射波前Zernike系数与波长存在类似材料折射率的关系,进而初步推断波前Zernike系数随波长的变化是由于材料折射率改变所引起的,这意味着在材料可透过的波长范围内可以计算任意波长波前.在实际测量波前时,一般要求系统的焦点(或像点)与参考球面球心重合[9],即检测的是光学系统聚焦位置波前.对于单波长系统,通常聚焦位置就是最佳工作位置,但对于复色系统,如消色差系统,通常其工作位置并不是某个设计波长的聚焦位置,各波长的聚焦位置相对这个工作位置有一定离焦量,而对于消色差系统检测工作位置的波像差更有实用价值.为此基于Zernike系数研究离焦位置任意波长波前的检测,分析离焦位置任意波长波前Zernike系数的计算方法.

1 Zernike系数与波长及位置的函数关系

波前Zernike系数不仅与波长有关,同时还受位置变化的影响,因此在离焦位置计算任意波长波前Zernike系数,需要建立Zernike系数与波长及位置的函数关系.

1.1 Zernike系数与波长的函数关系

文献[7]详细介绍了透射式光学系统波前Zernike系数与波长函数关系的模拟及验证过程,原理如图 1所示,其中所模拟的系统是单波长系统,透镜组使用同一种玻璃材料,因此波长改变时,所有透镜的折射率变化均相同,所以波前Zernike系数与波长可以使用Conrady公式形式表示.

图 1 基于Zernike系数检测任意波长波前原理图 Fig.1 Testing the different wavelength wavefronts of the optical system based on Zernike coefficients

本文以一个消色差系统作为研究目标,见图 2,首先验证由不同种类玻璃构成的系统在聚焦位置处波前Zernike系数与波长的函数关系是否同样满足Conrady-Zernike公式.在镜头库中选择双胶合消色差望远物镜,具体参数如下:系统F数:8;视场:0°、0.4°、0.75°;设计波长:480 nm、510 nm、546.1 nm、590 nm、643.8 nm;权重分别为:0.3、0.6、1、0.6、0.3;透镜材料分别为K9和ZF1,经过优化系统后工作距为1 196.162 mm.

图 2 消色差系统示意图 Fig.2 The achromatic system layout

采集消色差系统在聚焦位置波前Zernike系数,将系统波长更换为单波长,从400 nm开始只优化其聚焦位置,并记录其后截距位置及波前Zernike系数,每隔10 nm更换一次波长,直到700 nm为止.将采集Zernike系数与波长绘制成曲线,并使用Conrady-Zernike公式验证曲线.选择540 nm、570 nm、660 nm波长聚焦位置Zernike系数求解曲线并与采集数据对比,图 3为聚焦位置轴上点(0°视场)Z1求解曲线与数据曲线对比图,其中Data1为在聚焦位置采集的Z1系数曲线,Conrady1为使用聚焦位置Z1系数通过Conrady-Zernike公式求解曲线,从图中可以看出,在聚焦位置Conrady-Zernike公式同样适用于消色差系统波前Zernike系数的计算.

图 3 聚焦位置求解Conrady公式曲线与采集数据曲线对比 Fig.3 Comparison between solved Conrady formula curve at focus position and data curve

但实际上模拟的消色差望远系统理论工作距离为1 196.162 mm,相似的原理,按照计算聚焦位置Zernike系数使用聚焦位置3个波长Zernike系数的方式,计算工作位置Zernike数据就使用工作位置3个波长Zernike系数.具体验证方法是直接更换消色差系统波长,并采集1 196.162 mm处不同波长波前Zernike系数,使用540 nm、570 nm、660 nm波长工作位置的Zernike系数求解曲线并与采取数据对比.图 4为工作位置轴上点Z1求解曲线与数据曲线对比图,其中Data2为在工作位置采集的Z1系数曲线,Conrady2为使用工作位置Z1系数通过Conrady-Zernike公式求解曲线,结果显示在工作位置处直接使用Conrady-Zernike公式计算波前Zernike系数出现了较大误差.

图 4 工作位置求解Conrady公式曲线与采集数据曲线对比 Fig.4 Comparison between solved Conrady formula curve at working position and data curve

通过对比说明消色差系统在聚焦位置处波前Zernike系数与波长仍符合Conrady-Zernike公式关系,而系统固定位置处波前Zernike系数与波长的函数关系不能简单用Conrady-Zernike公式表示.

1.2 Zernike系数与位置的函数关系

在光学系统固定位置实际上检测是某波长离焦位置处波前,由于波前Zernike系数大小也与位置有关,那么如果在聚焦位置Zernike系数基础上补偿离焦距离的Zernike系数变化量,就可以计算在其离焦位置的波前Zernike系数.实际上光学系统即使工作在离焦位置,通常这个离焦量也不会很大,并且使用干涉仪检测光学系统波前时,如果参考球面镜的曲率中心偏离系统聚焦位置过多时,条纹会变得非常密集以致于无法测量,因此本文仅讨论在较短的距离范围内波前Zernike系数与位置的函数关系.

使用Zemax采集消色差系统不同波长在工作距离附近位置的Zernike系数,距离范围从1 195 mm到1 202 mm,距离间隔为0.2 mm,波长范围420 nm到660 nm,波长间隔为30 nm.将采集的数据绘制为不同波长Zernike系数与位置的曲线.

图 5可以看出Zernike系数与位置几乎呈线性变化,即单位长度Zernike系数变化量可以用一个常数表示(Zernike系数变化量除以距离),记作ki.但不同波长单位长度Zernike系数变化量不同,由于聚焦位置Zernike系数与波长可以用Conrady公式表示,而Zernike系数与位置是近似线性关系,则Zernike系数单位长度变化量ki与波长也应存在Conrady公式关系.因此通过Conrady公式判断ki与波长的函数关系,使用540 nm、570 nm、660 nm波长ki求解Conrady曲线并与采集的ki曲线对比.图 6为轴上点Z1的求解ki曲线与数据曲线对比图,其中Data3为Z1ki系数曲线,Conrady3为使用3个波长ki求解曲线.

图 5 零视场Zernike Z1系数与位置曲线 Fig.5 Zernike Z1 coefficients of zero field and wavelength curve
图 6 ki求解Conrady公式曲线与采集数据曲线对比 Fig.6 Comparison between solved Conrady formula curve of ki and data curve

结果显示不同波长的ki可以使用Conrady公式求解,ki与波长的关系可以以Conrady公式表示

$ {k_i}\left( \lambda \right) = {A_{ki}} + \frac{{{B_{ki}}}}{\lambda } + \frac{{{C_{ki}}}}{{{\lambda ^{3.5}}}} $ (1)

因此光学系统在离焦位置计算任意波长波前Zernike系数可以写成

$ {Z_i}\left( {\lambda , \Delta d} \right) = {Z_i}\left( \lambda \right) + {k_i}\left( \lambda \right)\Delta d $ (2)

式中,Zi(λ,Δd)为离焦位置不同波长Zernike系数,Zi(λ)为聚焦位置不同波长Zernike系数,ki(λ)为不同波长单位距离内Zernike系数变化量,Δd为某波长偏离该波长聚焦位置的距离.其中Zi(λ)可以通过3个聚焦位置Zernike系数使用Conrady-Zernike公式求解,ki(λ)也可以通过3个波长单位距离内Zernike系数变化量求解(测量某个波长不同位置Zernike系数得到),Δd为偏离聚焦位置的距离,这样就可以计算离焦位置任意波长Zernike系数.

2 消色差系统离焦量计算

在计算离焦位置任意波长Zernike系数公式中,Δd并不是波长的函数,而消色差系统的工作距离是一个定值,由于不同波长的焦点位置不同,即聚焦位置是波长的函数,因此各波长相对工作距离的离焦量也是波长的函数.消色差系统的不同波长离焦量的计算需要知道两个参量,分别是不同波长的聚焦位置和工作距离.图 7为消色差系统不同离焦量示意图,l1l2l3分别为λ1λ2λ3系统聚焦位置的后截距,l0为系统工作位置的后截距.

图 7 消色差系统不同波长离焦量示意图 Fig.7 Different wavelength defocusing amounts of the achromatic system
2.1 波长聚焦位置求解

首先需要确定不同波长的聚焦位置,与Zernike系数与波长的函数关系类似,波长聚焦位置的变化其实也是由材料折射率变化导致的[10],因此采用Conrady公式验证消色差系统的后截距与波长的关系,使用540 nm、570 nm、660 nm波长后截距计算求解曲线并与采集的后截距波长曲线对比,图 8为后截距求解曲线与数据曲线对比图,其中Data4为消色差后截距与波长曲线,Conrady4为使用三个波长后截距求解曲线.从图中可以发现消色差后截距曲线并不是一条单调曲线,而Conrady公式仍然可以对其求解,因此可以将后截距与波长的关系式也写成Conrady公式形式,即

图 8 后截距求解Conrady公式曲线与采集数据曲线对比 Fig.8 Comparison between solved Conrady formula curve of optical back length and data curve
$ l\left( \lambda \right) = {A_l} + \frac{{{B_l}}}{\lambda } + \frac{{{C_l}}}{{{\lambda ^{3.5}}}} $ (3)

消色差望远系统任意波长后截距就可以通过3个波长的后截距数据求解得出.

2.2 计算系统工作位置

接着是确定系统的工作距离,根据光学设计优化原理[11],系统的工作距离由波长及其权重决定,在波长的最佳聚焦位置是该波长像差最小的位置,设计时根据各波长的权重来平衡最终的工作距离.因此可以根据设计波长所占比重计算这个位置,将工作距离计算公式写为如下形式.

$ {l_0} = \frac{{\sum\limits_1^n {{w_n}{l_n}} }}{{\sum\limits_1^n {{w_n}} }} $ (4)

式中, ln为设计波长聚焦位置的后截距,wn为对应设计波长的权重,l0为工作位置的后截距,公式表达的意义是最后的工作距离由各设计波长权重所决定.消色差系统的设计波长480 nm、510 nm、546.1 nm、590 nm、643.8 nm,权重分别为0.3、0.6、1、0.6、0.3.使用540 nm、570 nm、660 nm波长后截距数据通过式(3)可以求得5个设计波长的后截距分别为1 196.542 mm、1 196.083 mm、1 195.947 mm、1 196.154 mm、1 196.707 mm.将其带入式(4),可以得到l0为1 196.166 mm,与设计结果1 196.162 mm非常接近.这样就可以计算任意波长聚焦位置相对工作距离的离焦量,消色差透射光学系统Δd可以表示为Δd(λ)=l0-l(λ),图 9为各波长相对工作位置离焦量曲线图.

图 9 各波长聚焦位置相对工作位置离焦量曲线 Fig.9 Different wavelength defocusing amounts curve between focus position and working position
3 离焦Zernike系数算法验证

消色差系统在工作位置任意波长波前Zernike系数计算公式可以写成

$ {Z_i}\left( {\lambda , \Delta d} \right) = {Z_i}\left( \lambda \right) + {k_i}\left( \lambda \right)\Delta d\left( \lambda \right) $ (5)

通过前面的分析计算,分别使用消色差望远物镜540 nm、570 nm、660 nm的后截距数据、聚焦位置波前以及离焦位置波前,得到其不同波长聚焦位置波前Zernike系数、单位距离Zernike系数变化量以及相对工作位置的离焦量,带入离焦位置任意波长Zernike系数式(5),可以得到其工作距离Zernike系数与波长曲线,与采集的工作位置Z1系数数据曲线对比,结果如图 10所示,其中Data2为在工作位置采集的Z1系数曲线,Conrady-offset为使用式(5)求解曲线.

图 10 离焦补偿算法求解曲线与采集数据曲线对比 Fig.10 Comparison between solved Conrady-offset formula curve and data curve

结果显示在聚焦位置Zernike系数基础上补偿离焦距离Zernike系数变化量的方法与直接在工作距离使用Conrady-Zernike公式方法(图 4)相比,工作位置的波前Zernike系数计算精度大幅提高.图 11为两种方法计算的Zernike系数与采集数据的差值.

图 11 两种算法的误差曲线 Fig.11 The error curves of two algorithm

其中两种方法在短波处都出现最大误差,式(5)中三个与波长有关的变量都会出现计算误差,因此随着波长的扩展误差逐渐累积增大,但使用离焦补偿算法可将Z1的最大绝对误差由6.783 1降低到1.364 0.使用同样的方式验证其它项Zernike系数,表 1给出全视场(1°视场)消色差望远系统Z1~Z9项系数两种方法最大绝对误差(模拟的光学系统没有引入离轴或倾斜误差,Z2Z6Z7的数据均为0).

表 1 前9项Zernike系数两种方法计算绝对误差 Tab.1 First 9 Fringe Zernike coefficients calculation errors of two algorithm

表 1中可以看出,离焦补偿算法对Z1Z4效果非常明显,而对其它Zernike项系数在固定位置使用两种方法计算结果相差并不大.这是因为Z1Z4代表的物理意义是平移和离焦[12],对位置变化很敏感.而其它Zernike项则代表光学系统的几种像差及其分量,在较小离焦距离内Zernike系数变化量也很小,位置的变化对其影响不大.

文献[7]中指出单波长系统和消色差系统聚焦位置波前Zernike系数与波长符合Conrady-Zernike公式,而复消色差系统不满足这一条件,因此离焦位置任意波长波前Zernike系数计算公式同样不适用于复消色差系统.本文对一个相对孔径较小的系统仿真,像差主要以初级像差为主,波前可由前9项Zernike系数决定.更复杂的系统根据光学设计原则通常需要使初级像差与高级像差进行平衡而减小系统的总体像差[13-14],那么波前应该由更多项Zernike系数表示,而对于复杂系统以及前9项以后的Zernike系数计算还需要在理论上进一步完善.

4 结论

本文在光学系统聚焦位置任意波长波前检测方法基础上,根据消色差系统的实际应用提出了在离焦位置计算任意波长波前Zernike系数的公式,通过模拟对比发现对于与位置有关的Zernike系数,使用离焦补偿算法可以有效减小其离焦位置的计算误差.由于文中仅对简单结构的消色差系统进行了验证,该算法的适用范围仍有待研究.目前特殊波长激光干涉仪种类较少且并未普遍应用,所以本文只进行了理论上的推导和验证.同时文中检测消色差系统时需要知道波长的权重,系统工作距离计算也仅考虑波长而忽略了视场的影响,因此该方法与实际检测还有一段距离.另一方面通过模拟发现,光学系统中不仅波前Zernike系数与波长符合Conrady公式形式,后截距与波长也同样符合Conrady公式形式,进一步证明光学系统中部分与波长有关的参数符合折射率变化规律,因此利用折射率公式可以为准确检测光学系统参数提供新的思路和借鉴.

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