光子学报  2019, Vol. 48 Issue (10): 1009002  DOI: 10.3788/gzxb20194810.1009002
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引用本文  

乔闹生, 龙永福, 严波, 等. 基于系统非线性校正与滤波的相位测量[J]. 光子学报, 2019, 48(10): 1009002. DOI: 10.3788/gzxb20194810.1009002.
QIAO Nao-sheng, LONG Yong-fu, YAN Bo, et al. Phase Measurement Based on Nonlinearity Correction and Filter of System[J]. Acta Photonica Sinica, 2019, 48(10): 1009002. DOI: 10.3788/gzxb20194810.1009002.

基金项目

国家自然科学基金(Nos.61703157,61475045)

第一作者

乔闹生(1971-), 男, 教授, 博士, 主要研究方向为光学信息处理.Email:190138413@qq.com

文章历史

收稿日期:2019-06-14
录用日期:2019-07-24
基于系统非线性校正与滤波的相位测量
乔闹生1,2,3 , 龙永福2,3 , 严波1 , 曹斌芳3 , 黎小琴3     
(1 湖南文理学院 国际学院, 湖南 常德 415000)
(2 湖南省洞庭湖生态经济区协同创新中心, 湖南 常德 415000)
(3 湖南文理学院 数理学院, 湖南 常德 415000)
摘要:相位测量系统中投影仪输出与CCD输入变形条纹光强之间的非线性导致频谱混叠,影响测量精度,为了消除他们之间的非线性关系,提高相位测量精度,分析了系统非线性产生的基本原因,提出了一种基于系统非线性校正与滤波的相位测量方法.首先校正由投影仪中伽马畸变产生的系统非线性,然后采用低通滤波器对校正后输出的频谱进行滤波,只保留频谱中的基频成份,最后采用四步相移法对变形条纹进行相位测量.MATLAB仿真与实际实验结果表明,所提方法的系统非线性校正与滤波效果较好,有助于提高相位测量精度.
关键词相位测量    非线性校正    低通滤波    四步相移法    条纹投影    
中图分类号:O438.2      文献标识码:A      
Phase Measurement Based on Nonlinearity Correction and Filter of System
QIAO Nao-sheng1,2,3 , LONG Yong-fu2,3 , YAN Bo1 , CAO Bin-fang3 , LI Xiao-qin3     
(1 International College of Hunan University of Arts and Science, Changde, Hunan 415000, China)
(2 Hunan Province Cooperative Innovation Center for the Construction & Development of Dongting Lake Ecological Economic Zone, Changde, Hunan 415000, China)
(3 Mathematics and Physics Science College, Hunan University of Arts and Science, Changde, Hunan 415000, China)
Foundation item: The National Natural Science Foundation of China (Nos.61703157, 61475045)
Abstract: The nonlinearity between projector output and CCD input deformed fringe intensity in phase measurement system results in spectrum aliasing and affects measurement accuracy. In order to eliminate the nonlinearity relationgship between them and improve phase measurement accuracy, the basic causes of system nonlinearity are analyzed, and a new phase measurement method based on system nonlinearity correction and filtering is proposed. Firstly, the system nonlinearity caused by the gamma distortion in the projector is corrected. Then, the output spectrum is filtered by low-pass filter, only the fundamental frequency component of the spectrum is retained. Finally, the phase measurement of deformed fringes is carried out by four-step phase-shift method. The results of MATLAB simulation and practical experiment show that the proposed method has better effect of system nonlinearity correction and filtering, and is helpful to improve the phase measurement accuracy.
Key words: Phase measurement    Nonlinearity correction    Low-pass filter    Four-step phase-shifting method    Fringe projection    
OCIS Codes: 090.2870;090.1995;200.3050;200.4740;200.4560;070.2025
0 引言

相位测量是光学三维面形测量中的重要研究内容,具有非接触、高精度、自动化测量等特点[1-3].国内外不少学者对其进行了研究,取得了较好的成果[4-7].如QIAO N S等[1]提出了用补偿π/4的四步相移法进行相位测量,较好地消除了由于系统伽码非线性引起的相位误差.在测量陡峭物体时,为了解决在不同照明下有不同颜色的相位测量问题,SONG L M等[2]提出了一种基于三波长相移轮廓术相位测量方法,扩大了测量范围,提高了测量速度与精度.在相位测量中,为了消除条纹图案干涉噪声的影响,GASTÓN A A等[3]提出了任意阶跃和相位噪声干涉图的最佳移相算法.

但在相位测量过程中,系统投影仪输出与CCD输入变形条纹光强之间存在非线性关系,导致频谱混叠,使相位测量产生误差,影响相位测量精度,因此必须对测量系统进行校正[8-10].为了减小光栅投影三维测量系统中数字投影仪的非线性响应引起的相位误差,毛翠丽等[8]提出了一种提高物体相位测量精度和速度的多频条纹反向相位误差补偿方法.在数字投影轮廓术中,为了减小测量系统伽码非线性对三维测量准确度的影响,MA S等[9]提出了一种基于数字条纹投影轮廓术傅里叶频谱分析的快速与精确的伽码校正方法.由于投影机的非线性通过在被测相位图上诱发波纹状伪影而降低了测量精度,XING S等[10]提出了一种基于不同频率条纹图的相位图估计函数系数的算法,自动确定条纹的阶数,从而成功展开了测量的相位图.

为了进一步减小系统非线性对相位测量的影响,本文分析了测量系统的非线性关系及校正方法,提出了一种相位测量方法,对校正前后系统输出的变形条纹进行了仿真与实际相位测量,以验证所提方法的正确性与有效性.

1 基本原理 1.1 系统非线性导致频谱混叠

在理想情况下,系统投影仪输出与CCD输入的变形条纹光强之间的关系为线性关系,此时投影仪输出的正弦条纹光强图像经CCD获取后为

$ g(x, y)=a(x, y)+b(x, y)\cos \left[ 2\text{ }\!\!{\mathtt{π}}\!\!\text{ }{{f}_{0}}x+\phi (x, y) \right] $ (1)

式中,a(x, y)表示条纹的背景光场,b(x, y)表示条纹的对比度,f0表示光栅的基频,ϕ(x, y)表示相位信息.

对条纹光强沿x轴方向进行傅里叶变换,采用π相移技术[11]消除频域中的零级频谱成份可得包含物体高度信息的频谱表达式为

$ G\left(f_{x}, f_{y}\right)=Q\left(f_{x}-f_{0}, f_{y}\right)+Q^{*}\left(f_{x}+f_{0}, f_{y}\right) $ (2)

式中,fxfy分别为沿着x轴与y轴方向的空间频率,Q表示沿x轴方向的频谱,Q*表示它的共轭频谱.可见频谱中只包含物体高度信息的基频成份.

由于光照、外界噪声等因素影响,实际测量系统中投影仪输出与CCD输入的变形条纹光强存在着非线性关系,条纹光强中除了基波成份外,还存在着二阶、三阶等高阶谐波成份.在理想的相位测量系统中,经过非线性投影系统的变形条纹光强为

$ {{g}^{\prime }}(x, y)={{[g(x, y)]}^{\gamma }}=\sum\limits_{k=0}^{\infty }{{{A}_{k}}}\cos \left\{ k\left[ 2\text{ }\!\!{\mathtt{π}}\!\!\text{ }{{f}_{0}}x+\phi (x, y) \right] \right\} $ (3)

式中,Ak表示g′(x, y)的第k级谐波成份的傅里叶系数,γ表示系统的伽码值.

对式(3)进行傅里叶变换,同样采用π相移技术[11]消除频域中的零级频谱成份后可得光强的频域表达式为

$ G^{\prime}\left(f_{x}, f_{y}\right)=\sum\limits_{k=1}^{\infty} Q_{k}\left(f_{x}-k f_{0}, f_{y}\right)+\sum\limits_{k=1}^{\infty} Q_{k}^{*}\left(f_{x}+k f_{0}, f_{y}\right) $ (4)

可见,系统存在非线性关系时,变形条纹经过傅里叶变换后频谱中出现了二级、三级频谱等高级频谱成份,基频与高级频谱成份混在一起容易导致频谱混叠,从而影响了相位的测量精度.

1.2 系统非线性校正

投影仪存在伽码畸变使得系统具有非线性效应,为了更好地消除非线性效应,提高相位测量精度,根据文献[12-13],式(3)中的γAkAk+1之间的关系为

$ \frac{A_{k}}{A_{k+1}}=\frac{G_{1}\left[k f_{0}\right]}{G_{1}\left[(k+1) f_{0}\right]} \frac{\gamma+k+1}{\gamma-k} $ (5)

式中,G1[·]表示投影仪的光学传递函数,是低通滤波器,其二维表达式为[12-13]

$ {{G}_{1}}\left( {{f}_{x}}, {{f}_{y}} \right)=\exp \left[ -2{{\text{ }\!\!{\mathtt{π}}\!\!\text{ }}^{2}}{{\delta }^{2}}\left( f_{x}^{2}+f_{y}^{2} \right) \right] $ (6)

式中,δ表示投影仪的离焦系数.

若由计算机预编码两个不同的已知伽码值γ1γ2到被投影的条纹中,则由式(5)可得[13]

$ \left\{\begin{array}{l}{\frac{A_{k}^{1}}{A_{k+1}^{1}}=\frac{G_{1}\left[k f_{0}\right]}{G_{1}\left[(k+1) f_{0}\right]} \frac{\left(\gamma / \gamma_{1}\right)+k+1}{\left(\gamma / \gamma_{1}\right)-k}} \\ {\frac{A_{k}^{2}}{A_{k+1}^{2}}=\frac{G_{1}\left[k f_{0}\right]}{G_{1}\left[(k+1) f_{0}\right]} \frac{\left(\gamma / \gamma_{2}\right)+k+1}{\left(\gamma / \gamma_{2}\right)-k}}\end{array}\right. $ (7)

式中,Ak1Ak+11Ak2Ak+12的值均大于0.

由式(6)、(7)即能求出投影仪的伽码值γ和离焦系数δ.采用文献[13]的类似强度校正方法,将求出的伽码值γ编码到计算机产生的相移条纹中,使通过同一测量系统获取的条纹非线性被抵消而校正为线性关系,从而有效地校正了系统的伽码畸变,这样经过系统非线性校正之后,系统输出与输入的变形条纹光强之间的非线性现象尽可能地减小了,这样很大程度上消除了变形条纹经过傅里叶变换后产生的高级频谱.此时得到的频谱为G″(fx, fy),相对式(4)中的G′(fx, fy),其含有的高级频谱成份大大减少了.

1.3 频谱滤波

为了得到只包含物体高度信息的基频成份而滤除高级频谱成份,采用式(6)所示的低通滤波器对频谱G″(fx, fy)进行滤波,其滤波后得到的频域表达式为

$ G^{\wedge}\left(f_{x}, f_{y}\right)=\lambda G^{*}\left(f_{x}, f_{y}\right) \cdot G_{1}\left(f_{x}, f_{y}\right) $ (8)

式中,0≤λ≤1,表示被投影物体的反射率.

设计适当的低通滤波器截止频率,只允许频谱中基频成份通过,而滤除二级、三级等高级频谱成份,这样经过低通滤波后只得到了频谱中的基频成份Q1(fxf0, fy)与Q1*(fx+f0, fy).

1.4 基于四步相移法的相位测量

经过系统非线性校正与低通滤波后系统输出的第n幅正弦条纹光强图像经CCD获取后为

$ g_{n}^{\wedge }(x, y)={{F}^{-1}}\left[ {{G}^{\wedge }}\left( {{f}_{x}}, {{f}_{y}} \right) \right]=\sum\limits_{k=0}^{\infty }{A_{k}^{\wedge }}\cos \left\{ k\left[ 2{\mathtt{π}} {{f}_{0}}x+\phi (x, y)+{{\delta }_{n}} \right] \right\} $ (9)

式中,F-1[·]表示傅里叶逆变换,Ak表示gn(x, y)的第k级谐波成份的傅里叶系数,δn表示相移量.

采用四步相移法得到的相位为

$ \phi(x, y)=\arctan \left[\frac{g_{4}^{\wedge}(x, y)-g_{2}^{\wedge}(x, y)}{g_{2}^{\wedge}(x, y)+g_{4}^{\wedge}(x, y)-2 g_{3}^{\wedge}(x, y)}\right] $ (10)
2 仿真与实验结果分析 2.1 仿真结果及分析

在理想情况下,系统投影仪输出与CCD输入的变形条纹光强之间成线性关系,此时投影仪输出的正弦条纹光强图像经CCD获取后如图 1所示.

图 1 仿真结果 Fig.1 Results of simulation

当投影系统存在非线性效应时,设系统输出变形条纹为g′(x, y)=0.19-1.31g(x, y)+0.76g2(x, y),经过校正之后输出变形条纹为g′(x, y)=0.19-1.31g(x, y).系统校正前未经低通滤波、系统校正后未经低通滤波、系统校正后经过低通滤波三种情况下沿着x轴方向变形条纹的频谱分布分别如图 2(a)~(c)所示.

图 2 仿真的沿着x轴方向变形条纹频谱分布 Fig.2 Spectrum distribution of the deformed fringe along the x axis in the simulation

零级频谱成份通过π相移技术[11]消除.从图 2(a)可见,频谱中除了基频外,还包含二级频谱成份,并且与基频发生了混叠;在图 2(b)中,由于经过了系统非线性校正,但未经低通滤波,频谱中包含少许二级频谱成份;而在图 2(c)中,由于经过了系统非线性校正与低通滤波,频谱中只含有基频成份.

用相位标准差进一步衡量测量方法的优劣,图 3(a)(b)(c)分别为仿真相位与系统校正前未经低通滤波、系统校正后未经低通滤波、系统校正后经过低通滤波三种情况下经傅里叶逆变换后采用四步相移法重构相位的标准差.可见系统校正后经过低通滤波能很好地重构物体相位.

图 3 仿真相位与采用四步相移法重构相位标准差比较 Fig.3 Phase standard deviation comparison between simulated phase and reconstructed phase by adopting four-step phase-shifting method

采用三种相位测量方法而得到的相位标准差见表 1.从表 1数据可进一步证明所提方法的优越性.由于没有对系统进行非线性校正,频谱中因非线性效应包含二级、三级等高级频谱成份并与基频发生混叠,没有经过低通滤波也可会使频谱中含有高级频谱成份,这些情况都会影响相位测量精度,从而导致相位标准差较大.所以经过非线性校正且滤波后,相位标准差最小.

表 1 仿真中采用三种方法得到的相位标准差值(单位:rad) Table 1 Phase standard deviation value from simulation using three methods (unit: rad)
2.2 实验结果及分析

为了进一步证明原理分析的正确性,采用如图 4所示的实验装置进行了实验.条纹经投影仪投影到参考平面与物体表面上,再由CCD分别获取变形条纹如图 5(a)(b)所示.

图 4 实验装置示意图 Fig.4 The schematic diagram of experimental setup
图 5 实验条纹 Fig.5 The fringe pattern in the experiment

系统校正前未经低通滤波、系统校正后未经低通滤波、系统校正后经过低通滤波三种情况下所得到的变形条纹沿着x轴方向的频谱分别如图 6所示.可见经过系统校正及低通滤波后所得到的频谱图只含有基频与零级频谱成份.

图 6 沿着x轴方向变形条纹频谱分布的实验结果 Fig.6 Spectrum distribution of the deformed fringe along the x axis in the experiment

通过π相移技术[11]消除零级频谱成份后,再经过傅里叶逆变换,得到重构的三维物体相位分别如图 7(a)~(c)所示,图 7(d)表示图 7(a)~(c)的第253列剖面比较.可见经过系统校正及低通滤波后重构相位效果最好,相位表面轮廓完整且光滑.

图 7 重构的三维相位图实验结果 Fig.7 Results of the reconstructed 3D phase surface in the experiment
3 结论

本文针对投影仪系统输出与CCD输入的非线性效应,分析了测量系统的非线性关系及高级频谱成份产生的基本原因,给出了基于测量系统非线性校正与滤波的相位测量方法.对校正前未经滤波、校正后未经滤波及校正后经过滤波三种情况的系统输出变形条纹用MATLAB软件仿真及实际实验进行了相位测量,仿真及实验对比结果证明了本文方法效果较好.但使用该方法对存在阶梯状及空洞的三维物体进行相位测量时,由于相位解包裹比较困难,因而相位测量效果不太明显,相位恢复精度不高.

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