光子学报  2019, Vol. 48 Issue (10): 1010002  DOI: 10.3788/gzxb20194810.1010002
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引用本文  

曾海金, 蒋家伟, 赵佳佳, 等. L1-2空谱全变差正则化下的高光谱图像去噪[J]. 光子学报, 2019, 48(10): 1010002. DOI: 10.3788/gzxb20194810.1010002.
ZENG Hai-jin, JIANG Jia-wei, ZHAO Jia-jia, et al. L1-2 Spectral-spatial Total Variation Regularized Hyperspectral Image Denoising[J]. Acta Photonica Sinica, 2019, 48(10): 1010002. DOI: 10.3788/gzxb20194810.1010002.

基金项目

国家自然科金项目(No.61401368),中央高校基本科研业务费专项资金(No.2452019073)

第一作者

曾海金(1996-), 男, 硕士研究生, 主要研究方向为高光谱图像处理.Email:zeng_navy@163.com

通讯作者

谢晓振(1984-), 男, 副教授, 博士, 主要研究方向为数字光信息处理及遥感图像处理.Email:xiexzh@nwafu.edu.cn

文章历史

收稿日期:2019-07-15
录用日期:2019-08-13
L1-2空谱全变差正则化下的高光谱图像去噪
曾海金 , 蒋家伟 , 赵佳佳 , 王艺卓 , 谢晓振     
(西北农林科技大学 理学院, 陕西 杨凌 712100)
摘要:针对高光谱图像的复原问题,提出了一种基于局部核范数最小化和全局L1-2空谱全变差正则化的高光谱复原模型.首先,将高光谱图像划分成局部交叠的三维图块,在提高局部低秩性的同时减少核范数最小化带来的信息损失;然后,建立稀疏表达能力更强的L1-2空谱全变差正则项,不仅能表示空间稀疏先验,而且还能发掘光谱稀疏先验;最后联合两者的优势,在局部上利用核范数最小化惩罚光谱低秩性,在全局上利用L1-2空谱全变差约束高光谱的空间和光谱稀疏性,建立新的高光谱图像复原模型.该模型不仅能够有效去除高斯噪声、脉冲噪声、死线噪声及其混合噪声,而且减少了对噪声独立同分布假设的依赖,能部分抑制与结构相关的噪声.通过对模拟的和真实的高光谱图像进行大量的实验仿真,并与经典的基于低秩和全变差的复原方法相比,本文模型复原结果的平均峰值信噪比提高1.36 dB,平均结构性相似指标提高0.004,而Q-测度降低1.35,平均光谱角降低0.64,复原精度大幅度提高.
关键词高光谱图像    局部低秩    L1-2空谱全变差    凸函数差算法    交替方向乘子法    
中图分类号:TP301.6      文献标识码:A      
L1-2 Spectral-spatial Total Variation Regularized Hyperspectral Image Denoising
ZENG Hai-jin , JIANG Jia-wei , ZHAO Jia-jia , WANG Yi-zhuo , XIE Xiao-zhen     
(College of Science, Northwest A & F University, Yangling, Shaanxi 712100, China)
Foundation item: The National Natural Science Foundation of China (No.61401368), the Fundamental Research Funds for the Central Universities(No.2452019073)
Abstract: A model for Hyperspectral Image (HSI) restoration was proposed, which combines the L1 norm minimization of local patches and L1-2 Spatial-Spectral Total Variation (L1-2 SSTV) of global image. Firstly, the HSI was divided into local overlapping 3D patches, to reduce information loss caused by minimization of nuclear norm while improving local low-rank property. Secondly, the L1-2 SSTV regularization term with stronger sparse expression ability was proposed, to explore both spectral and spatial sparse prior simultaneously. Finally, the advantages of both worlds are combined, and a new HSI restoration model is proposed. The local norm is used to penalize spectrum low-rank term, and the L1-2 SSTV is used globally to constrain the spatial and spectral sparsity term of HSI, The model can not only effectively remove Gaussian noise, impulse noise, deadline and its mixture noise, but also reduce the dependence on the noise independent and identical distribution hypothesis, and can partially suppress the structure-related noise. Through a large number of experiments of simulated and real HSIs, and compared with the classical low-rank and total-variation-based restoration methods, experimental results were conducted to illustrate the advantage of the proposed method in HSI restoring, from visual/quantitative evaluations.
Key words: Hyperspectral image    Local low-rank    L1-2 spatial-spectral total variation    Difference of convex algorithm    Alternating direction method of multipliers    
OCIS Codes: 100.4145; 100.6890; 100.3020
0 引言

高光谱图像(Hyperspectral Image, HSI)可以提供同一场景的数百个连续波段的光谱信息,被广泛应用于诸多领域[1].但是,由于受观测条件和传感器的限制,由高光谱成像仪所获得的HSI通常会受到多种噪声的污染,例如:条带噪声、死线噪声、脉冲噪声及高斯噪声等,丢失了大量有用的信息,限制了诸如HSI地物分类、目标探测、像元分解[1-3]等后续处理及应用精度.因此,HSI去噪作为一个预处理步骤,是一个有待深入研究且具有较强热度的研究方向.

HSI具有水平和垂直两个空间维度,以及一个与波长对应的光谱维度.光谱维度的不同光谱通道是不同波长的光对同一场景的成像结果,它们存在着高度相关性,即,光谱低秩先验.早期的高光谱图像复原方法[4]使用主成分分析(Principle Component Analysis, PCA)将高光谱图像映射到一系列正交向量上,通过收缩系数达到去噪的目的.但是它对异常值比较敏感,例如脉冲噪声、死线噪声、条带噪声等,故去噪能力有限.所以,CANDES E等[5]用核范数最小化表示低秩先验,用L1范数表示稀疏异常值,提出鲁棒性主成分分析方法(Robust PCA, RPCA),解决了异常值干扰的问题.随后RPCA方法就被应用于高光谱图像复原问题中,形成基于低秩矩阵复原的LRMR模型[4]和噪声自适应低秩复原的NAILRMA模型[6],并取得较好的复原效果.为了有效探索HSI的局部低秩先验(Local Low-Rank, LLR),减少核范数最小化算法导致的信息损失,保持局部细节和纹理信息[7-8],降低对噪声独立同分布假设的依赖,后续的研究人员将高光谱图像分块研究,提出了多种基于三维图块的RPCA模型[9-11],取得非常好的复原效果.

在HSI的空间维度上,也存在着对复原问题非常有用的先验信息,例如:HSI局部像素之间具有很强的相似性,在一定程度上反映了HSI的空间稀疏先验.以全变差(Total Variation,TV)为代表的空间稀疏先验表示方法,不仅能够有效探索空间的平滑信息,还能保持图像的重要边缘信息.因此,全变差作为空间稀疏正则项和其他先验信息联合,被广泛应用于HSI的复原问题.LRTV模型[10]就是逐波段地将经典的TV正则项与表示低秩的核范数最小化联合使用,不仅可以去除高斯噪声,而且同时还可以去除稀疏噪声,例如脉冲噪声、死线噪声、条带噪声等.进一步的,CHANG Yi等[11]提出了各向异性空谱全变差正则项(Spatial-spectral Total Variation, SSTV),使其能够提升在空间维度稀疏先验的表示能力,同时更好的发掘光谱维度的稀疏先验.LRTDTV模型[12]将上述的SSTV正则项与张量低秩分解方法联合使用,大幅度提高HSI的复原精度.针对HSI不同波段上的噪声强度不同的情况,YUAN Qiang-qiang等[13]提出了空谱自适应全变差模型(Spectral-Spatial Adaptive TV, SSAHTV),它充分考虑每个波段的噪声情况,根据噪声强度对不同位置处的梯度赋权,从而减少图像边缘信息的损失.HE Wei等将SSTV与局部低秩方法相结合,提出了LLRSSTV[14]模型,在去除混合噪声的同时,还可以抑制与结构相关的噪声.

TV方法作为灰度图像处理领域一个重要的分支也在不断的发展[15-16].近期,MA Tian-hui等[16]提出了L1-2全变差,其对空间稀疏性具有更强的表达能力.文献[15]逐波段地将L1-2全变差与表示低秩的核范数最小化联合应用于三维HSI,有效地消除了高斯噪声、稀疏噪声及其混合噪声.虽然文献[15]成功地将L1-2全变差应用于HSI,并取得了良好的复原效果,但是逐波段地应用L1-2全变差仅利用了HSI的空间稀疏性,并未对其光谱稀疏性进行探索.

L1-2全变差[16]及SSTV模型[7]的启发,在经典TV模型的基础上,本文提出了适用于三维HSI的L1-2空谱全变差正则化方法(L1-2SSTV),可以更有效地表达HSI的空间稀疏性和光谱稀疏性,克服经典TV模型的块效应,有利于提高HSI的复原质量.然后,将L1-2SSTV与HSI的局部低秩先验(Local Low-Rank, LLR)结合,建立了LLR-L1-2SSTV复原模型.首先,根据HSI局部像素间的空间相关性,将HSI分解成若干三维重叠小块,并用核范数最小化来探索图块的局部低秩先验,用L1范数探测稀疏噪声;然后在全局上利用提出的L1-2SSTV整合所有小块,充分地利用整幅图像的空间与光谱稀疏性.最终的模型不仅能够有效去除高斯噪声、脉冲噪声、死线噪声及其混合噪声,而且减少对噪声独立同分布假设的依赖,能部分抑制与结构相关的噪声.

1 相关工作 1.1 HSI的退化模型

由于成像设备和成像环境的影响,观测得到的HSI会受到多种噪声的严重干扰,因此高光谱图像的退化模型可表示为

$ \mathscr{O} = \mathscr{L} + \mathscr{S} + \mathscr{N} $ (1)

式中,$\bf{\mathscr{O}}$为实际观测到的含噪图像、$\bf{\mathscr{L}}$表示清晰图像、$\bf{\mathscr{N}}$为高斯噪声、$\bf{\mathscr{S}}$代表稀疏噪声,主要包括脉冲噪声、死线、条带噪声及混合噪声;$\bf{\mathscr{O}}$$\bf{\mathscr{L}}$$\bf{\mathscr{S}}$$\bf{\mathscr{N}}$的大小均为M×N×p,其中M×N为空间维度的大小,p为波段数.在下文中用OLSN分别表示其逐波段列化成的矩阵,大小均为MN×p.

1.2 HSI的局部低秩先验

高光谱图像的光谱维度包含了同一空间场景在不同光谱波段内的成像结果,故不同光谱通道之间存在着高度相关性,即,光谱低秩性.文献[17]将高光谱图像逐波段列化成二维矩阵,然后通过约束分解矩阵的秩来表示光谱低秩先验.在RPCA方法[5]的基础上,文献[10]用核范数最小化来近似表示光谱低秩先验,建立了秩约束的RPCA复原模型.虽然RPCA已被用于HSI复原,但是由于HSI列化后的矩阵O大小为MN×p,其空间维度远大于光谱维度(MNp),会导致复原结果出现模糊、细节丢失的情况.但是,文献[7]、[14]发现HSI局部像素属于同一地表覆盖物的可能性更大,光谱维度的低秩性更强,故提出通过定义取块算子Ri, j:=$\bf{\mathscr{L}}$Li, j=$\bf{\mathscr{L}}$i, j,从HSI空间位置(i, j),截取大小为m×n×p的子块,建立基于局部图块的秩约束RPCA方法,解决了列化矩阵的空间维度和光谱维度差别较大的问题.

$ \min \sum\limits_{{\mathscr{L}_{i,j}},{\mathscr{S}_{i,j}}} {\left( {\lambda {{\left\| {{\mathit{\boldsymbol{S}}_{i,j}}} \right\|}_1} + \left\| {{\mathit{\boldsymbol{L}}_{i,j}}} \right\|} \right)} \;\;\;\;{\rm{s}}{\rm{.t}}{\rm{.}}\;\left\| {{\mathit{\boldsymbol{O}}_{i,j}} - {\mathit{\boldsymbol{L}}_{i,j}} - {\mathit{\boldsymbol{S}}_{i,j}}} \right\|_{\rm{F}}^2 \le \varepsilon , rank \left( {{\mathit{\boldsymbol{L}}_{i,j}}} \right) \le r $ (2)

相对于RPCA方法,式(2)更好地刻画了HSI的光谱低秩性.但除光谱维度外,HSI的空间维度上也存在着对去噪问题非常有用的先验信息,下面,本文就利用TV正则项来探索HSI的空间信息.

2 L1-2空谱全变差

全变差正则化方法[18]不仅能够有效保护图像边界信息,而且可以表示空间平滑信息,故在灰度图像处理问题中被广泛的应用.全变差有各向同性和各向异性两种数学定义方式为

$ \left\{ \begin{array}{l} \left\| \mathit{\boldsymbol{X}} \right\|_{{\rm{TV}}}^{{\rm{iso}}}: = \sum\limits_{i = 1}^{MN} {\sqrt {{{\left( {\nabla _i^{\rm{h}}\mathit{\boldsymbol{X}}} \right)}^2} + {{\left( {\nabla _i^{\rm{v}}\mathit{\boldsymbol{X}}} \right)}^2}} } \\ \left\| \mathit{\boldsymbol{X}} \right\|_{{\rm{TV}}}^{{\rm{ani}}}: = \sum\limits_{i = 1}^{MN} {\left| {\nabla _i^{\rm{h}}\mathit{\boldsymbol{X}}} \right|} + \left| {\nabla _i^{\rm{v}}\mathit{\boldsymbol{X}}} \right| \end{array} \right. $ (3)

式中, ▽=▽h, ▽v是梯度算子,▽ih, ▽iv分别表示水平和垂直的一阶梯度算子,下标i表示图像中像素的索引.但是经典的TV正则化易产生分段常数的结果,这使得恢复结果出现块效应,这严重了扭曲图像的真实边界信息.为了克服这个缺陷,后续的研究人员提出了大量的改进形式的TV,并且将其成功应用于高光谱图像复原问题,例如变权TV[19]、结构张量TV[20]等.近期,文献[21]提出利用各向异性TV和各向同性TV之差形式,即L1-2TV,来更精确表示灰度图像的空间稀疏先验信息,即

$ T\left( \mathit{\boldsymbol{X}} \right): = \left\| \mathit{\boldsymbol{X}} \right\|_{{\rm{TV}}}^{{\rm{ani}}} - \alpha \left\| \mathit{\boldsymbol{X}} \right\|_{{\rm{TV}}}^{{\rm{iso}}} $ (4)

进而,L1-2TV被文献[15]逐波段地应用高光谱图像复原,取得了良好的复原结果.

与传统彩色图像相比,HSI拥有数百个光谱通道,并且噪声强度在各个光谱通道上通常不同,这是逐波段应用TV方法所无法顾及到的.为了更好地去除噪声,贺威等[14]将二维TV推广到三维,建立各向异性的空谱全变差(SSTV),从空间和光谱两方面探索HSI的稀疏性.为了能够同时且更精确的表示HSI的空间稀疏性和光谱稀疏性,结合L1-2TV和SSTV的优势,针对表示HSI的三阶张量χ,本文建立的L1-2空谱全变差(L1-2SSTV)为

$ {\left\| \mathit{\boldsymbol{\chi }} \right\|_{{{\rm{L}}_{1 - 2}}{\rm{SSTV}}}} = \left\| \mathit{\boldsymbol{\chi }} \right\|_{{\rm{SSTV}}}^{{\rm{ani}}} - \alpha \left\| \mathit{\boldsymbol{\chi }} \right\|_{{\rm{SSTV}}}^{{\rm{iso}}} $ (5)

式中,‖χSSTVani=τiDxχ1+τjDyχ1+τbDzχ1, ${\bf{ \pmb{\mathit{ χ}} }}_{{\rm{ssrv}}}^{{\rm{so}}} = \sqrt {\left\| {{\mathit{\boldsymbol{D}}_x}{\bf{ \pmb{\mathit{ χ}} }}} \right\|_1^2 + \left\| {{\mathit{\boldsymbol{D}}_y}{\bf{ \pmb{\mathit{ χ}} }}} \right\|_1^2 + \left\| {{\mathit{\boldsymbol{D}}_z}{\bf{ \pmb{\mathit{ χ}} }}} \right\|_1^2} $α∈[0, 1]为正则化参数,当α=0时,L1-2SSTV退化为经典的SSTV;若χ退化为二维矩阵X,则L1-2SSTV退化为L1-2全变差式(4).τi, τj, τb为三个方向梯度的权重参数.通过实验及参考文献[14], 本文取α=0.2,τi=τj=1.利用式(5),可以同时探索HSI的空间稀疏与光谱稀疏先验,克服经典TV模型的块效应,更加逼近L0的稀疏性,有利于复原出更高质量的图像.

3 基于LLR-L1-2SSTV的HSI复原模型 3.1 LLR-L1-2SSTV模型

将HSI分割成交叠的三维图块,利用基于图块的秩约束RPCA模型式(3)来表示高光谱图像的局部低秩先验,然后利用新建立的L1-2SSTV正则项式(5)在整体上惩罚高光谱图像的空间稀疏性和光谱稀疏性,建立本文模型为

$ \min \sum\limits_{i,j} \left( \lambda \left\| \mathscr { S } _ { i , j } \right\| _ { 1 } + \left\| \mathscr { L } _ { i , j } \right\| _ { *} \right) + \tau \| \mathscr { L } \| _ { L _ { 1 - 2 } \operatorname { SSTV } } \quad \text { s.t. } \left\| \mathcal { O } _ { i , j } - \mathscr { L } _ { i , j } - \mathscr { S } _ { i , j } \right\| _ { \mathrm { F } } ^ { 2 } \leqslant \varepsilon , \operatorname { rank } \left( \mathscr { L } _ { i , j } \right) \leqslant r $ (6)

式中,λ, τ分别为正则化参数,平衡L1-2SSTV项和稀疏项对代价函数的影响.在LLR-L1-2SSTV模型中,当L1-2SSTV中的α为0时,式(6)退化为LLRSSTV模型[17];当τ为0时,式(6)退化为RPCA模型式(3).r采用HySime算法来确定;在文献的基础上,λτ的值根据具体数据集的实验分析给出,见4.3节.

上述模型将局部低秩与稀疏矩阵分解联合应用于局部图块,利用核范数探索局部图块的光谱低秩信息,利用L1范数惩罚稀疏噪声,可以有效地去除局部图块上的稀疏噪声与高斯噪声,减少对噪声独立同分布假设的依赖,能部分抑制与结构相关的噪声;另一方面,在全局上利用提出的L1-2SSTV整合所有图块,充分地利用整幅图像的空间与光谱稀疏性,进一步去除局部图块中残留的小规模噪声,同时保持整幅图像的边缘信息.下面设计具体算法对提出的LLR-L1-2SSTV模型进行高效求解.

3.2 模型求解

交替方向乘子法(Alternating Direction Method of Multipliers, ADMM)是求解含有多个正则项目标函数的有效算法.下面应用其求解LLR-L1-2SSTV模型,首先引入中间变量$\bf{\mathscr{J}}$, $\bf{\mathscr{X}}$$\mathbb{R}$M×N×p,则有

$ \begin{array}{l} \mathop {\min }\limits_{\mathscr{L},\mathscr{S},\mathscr{J},\mathit{\boldsymbol{\chi }}} \sum\limits_{{\rm{i,j}}} {\left( {{{\left\| {{\mathscr{L}_{i,j}}} \right\|}_ * } + \lambda {{\left\| {{\mathscr{S}_{i,j}}} \right\|}_1}} \right)} + \tau {\left\| \mathit{\boldsymbol{\chi }} \right\|_{{{\rm{L}}_{1 - 2}}SSTV}}\;\;\;s.t.\mathscr{J} = \chi ,{\mathscr{L}_{i,j}} = \\ {\mathscr{J}_{i,j}},\left\| {{\mathscr{O}_{i,j}} - {\mathscr{L}_{i,j}} - {\mathscr{S}_{i,j}}} \right\|_{\rm{F}}^2 \le \varepsilon , rank\left( {{\mathscr{L}_{i,j}}} \right) \le r \end{array} $ (7)

利用增广拉格朗日乘子法,上述优化问题可以转化为

$ \begin{array}{l} \min \;\ell \left( {\mathscr{L},\mathscr{S},\mathscr{J},\chi } \right) = \mathop {\min }\limits_{\mathscr{L},\mathscr{S},\mathscr{J},\chi } \sum\limits_{{\rm{i,j}}} {\left( {{{\left\| {{\mathscr{L}_{i,j}}} \right\|}_ * } + \lambda {{\left\| {{\mathscr{S}_{i,j}}} \right\|}_1} + \left\langle {\mathit{\Lambda }_{i,j}^\mathscr{O},{\mathscr{O}_{i,j}} - {\mathscr{L}_{i,j}} - {\mathscr{S}_{i,j}}} \right\rangle + \frac{\mu }{2}\left\| {{\mathscr{O}_{i,j}} - } \right.} \right.} \\ \left. {\left. {{\mathscr{L}_{i,j}} - {\mathscr{S}_{i,j}}} \right\|_{\rm{F}}^2 + \left\langle {\mathit{\Lambda }_{i,j}^L,{\mathscr{L}_{i,j}} - {\mathscr{S}_{i,j}}} \right\rangle + \frac{\mu }{2}\left\| {{\mathscr{L}_{i,j}} - {\mathscr{S}_{i,j}}} \right\|_{\rm{F}}^2} \right) + \left\langle {{\mathit{\Lambda }_X},\mathscr{J} - \chi } \right\rangle + \frac{\mu }{2}\left\| {\mathscr{J} - \chi } \right\|_2^2\\ + \tau {\left\| \mathit{\boldsymbol{\chi }} \right\|_{{{\rm{L}}_{1 - 2}}{\rm{SSTV}}}} \end{array} $ (8)

式中,$\Lambda _{i, j}^{\mathscr{O}}$, $\Lambda _{i, j}^{\mathscr{L}}$, $\Lambda _{\mathscr{X}}$是拉格朗日乘子,‖°‖F2表示张量所有元素的平方和.由ADMM,第k步迭代时

$ \left( {{\mathscr{L}^{k + 1}},{\mathscr{S}^{k + 1}}} \right) = \mathop {\arg \min }\limits_{\mathscr{S},\mathscr{L}} \ell \left( {\mathscr{L},\mathscr{S},{\mathscr{J}^k}} \right)\;\;\;\;\;{\rm{ s}}{\rm{.t}}{\rm{. }} rank \left( {{\mathscr{L}_{i,j}}} \right) \le r $
$ \left( {{\mathscr{J}^{k + 1}},{\chi ^{k + 1}}} \right) = \mathop {\arg \min }\limits_{\mathscr{J},\chi } \ell \left( {{\mathscr{L}^{k + 1}},S,\chi } \right) $

1) 对于子优化问题($\bf{\mathscr{L}}$, $\bf{\mathscr{S}}$),固定其他参数,可以转化为图块求解的优化问题,对($\bf{\mathscr{L}}$i, j, $\bf{\mathscr{S}}$i, j)有

$ \begin{array}{l} \mathop {\arg \min }\limits_{{\mathscr{L}_{i,j}},{\mathscr{S}_{i,j}}} {\left\| {{\mathscr{L}_{i,j}}} \right\|_ * } + \lambda {\left\| {{\mathscr{S}_{i,j}}} \right\|_1} + \left\langle {\mathit{\Lambda }_{i,j}^\mathscr{O},{\mathscr{O}_{i,j}} - {\mathscr{L}_{i,j}} - {\mathscr{S}_{i,j}}} \right\rangle + \frac{\mu }{2}\left\| {{\mathscr{O}_{i,j}} - {\mathscr{L}_{i,j}} - } \right.\\ \left. {{\mathscr{S}_{i,j}}} \right\|_{\rm{F}}^2 + \left\langle {\mathit{\Lambda }_{i,j}^\mathscr{L},{\mathscr{L}_{i,j}} - {\mathscr{S}_{i,j}}} \right\rangle + \frac{\mu }{2}\left\| {{\mathscr{L}_{i,j}} - {\mathscr{S}_{i,j}}} \right\|_{\rm{F}}^2\;\;\;{\rm{s}}{\rm{.t}}{\rm{. }} rank \left( {{\mathscr{L}_{i,j}}} \right) \le r \end{array} $ (9)

根据文献[14]中关于LLRSSTV的求解及文献[22]可得

$ \mathit{\boldsymbol{L}}_{i,j}^{k + 1} = {D_{1/(2\mu )}}\left( {\frac{1}{2}\left( {{\mathit{\boldsymbol{O}}_{i,j}} + \mathit{\boldsymbol{J}}_{i,j}^k - \mathit{\boldsymbol{S}}_{i,j}^k + \left( {\mathit{\Lambda }_Y^k + \mathit{\Lambda }_L^k} \right)/\mu } \right)} \right) $ (10)
$ \mathit{\boldsymbol{S}}_{i,j}^{k + 1} = {\mathscr{R}_{\lambda /\mu }}\left( {{\mathscr{O}_{i,j}} + \mathscr{L}_{i,j}^{k + 1} + \mathit{\Lambda }_{i,j}^\mathscr{O}/\mu } \right) $ (11)

2) 关于($\bf{\mathscr{J}}$, ${\bf{ \pmb{\mathit{ χ}} }}$)的子优化问题

a) 对于变量$\bf{\mathscr{J}}$的求解,有

$ \mathop {\arg \min }\limits_\mathscr{J} \frac{\mu }{2}\left\| {\mathscr{J} - \chi + {\mathscr{Y}^\chi }/\mu } \right\|_{\rm{F}}^2 + \sum\limits_{i,j} {\left( {\frac{\mu }{2}\left\| {{\mathscr{L}_{i,j}} - {\mathscr{J}_{i,j}} + {\mathscr{Y}^\mathscr{L} }_{i,j}/\mu } \right\|_{\rm{F}}^2} \right)} $

这是一个凸优化问题,求解可得

$ \mathscr{J} = \left( {\chi + {\mathscr{Y}^\chi }/\mu + \sum\limits_{i,j} {R_{i,j}^{\rm{T}}\left( {{\mathscr{L}_{i,j}} + {\mathscr{Y}^\mathscr{L} }_{i,j}/\mu } \right)} } \right) \cdot /\left( {1 + \sum\limits_{i,j} {R_{i,j}^{\rm{T}}{R_{i,j}}} } \right) $ (12)

b) 对于变量χ的求解,有

$ \mathop {\arg \min }\limits_\mathit{\boldsymbol{\chi }} F\left( \mathit{\boldsymbol{\chi }} \right): = \mathop {\arg \min }\limits_\mathit{\boldsymbol{\chi }} \left\| \mathit{\boldsymbol{\chi }} \right\|_{{\rm{SSTV}}}^{ani} - \alpha \left\| \mathit{\boldsymbol{\chi }} \right\|_{{\rm{SSTV}}}^{{\rm{iso}}} + \frac{\lambda }{2}\left\| {\mathit{\boldsymbol{\chi }} - \left( {\mathscr{J} + {\mathit{\Lambda }_x}/\mu } \right)} \right\|_{\rm{F}}^2 $ (13)

式中,λ=μ/τ.利用DCA算法[23]F(χ)可分解为两个凸函数相减,即

$ F\left( \mathit{\boldsymbol{\chi }} \right) = G\left( \mathit{\boldsymbol{\chi }} \right) - H\left( \mathit{\boldsymbol{\chi }} \right) $ (14)

式中,H(χ)=αχSSTViso+cχ22, G(χ)=‖χSSTVani+cχ22+$\frac{\lambda }{2}$χ-($\bf{\mathscr{J}}$+ΛX/μ)‖22,引入冗余变量d=(dx, dy, dz)和拉格朗日乘子b=(bx, by, bz),并将问题分解为如下三个子优化问题分别求解.

$ \begin{array}{*{20}{c}} {{\mathit{\boldsymbol{\chi }}^{k + 1}} = \mathop {\arg \min }\limits_\mathit{\boldsymbol{\chi }} H\left( \mathit{\boldsymbol{\chi }} \right) + \frac{\gamma }{2}\left\| {{d_x} - {\mathit{\boldsymbol{D}}_x}\mathit{\boldsymbol{\chi }} - b_x^k} \right\|_2^2 + \frac{\gamma }{2}\left\| {{d_y} - {\mathit{\boldsymbol{D}}_y}\mathit{\boldsymbol{\chi }} - b_y^k} \right\|_2^2 + \frac{\gamma }{2}\left\| {{d_z} - {\mathit{\boldsymbol{D}}_z}\mathit{\boldsymbol{\chi }} - b_z^k} \right\|_2^2}\\ {{b^{k + 1}} = {b^k} + \mathit{\boldsymbol{D}}{\mathit{\boldsymbol{\chi }}^{k + 1}} - {d^{k + 1}}} \end{array} $ (15)
$ {d^{k + 1}} = \mathop {argmin}\limits_d {\left\| {{d^k}} \right\|_1} + \frac{\gamma }{2}\left\| {d - \mathit{\boldsymbol{D\chi }} - {b^k} - \frac{{\alpha q}}{\gamma }} \right\|_2^2 $ (16)

对于d=(dx, dy, dz),利用奇异值收缩算子可得

$ {d^{k + 1}} = SVT\left( {\mathit{\boldsymbol{D\chi }} + {b^k} + \frac{{\alpha q}}{\gamma },\frac{1}{\gamma }} \right) $ (17)

更新b=(bx, by, bz)及拉格朗日参数

$ \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {{b^{b + 1}} = {b^k} + \mathit{\boldsymbol{D}}{\mathit{\boldsymbol{\chi }}^{k + 1}} - {d^{k + 1}}}\\ {{\mathit{\Lambda }_X} = {\mathit{\Lambda }_X} + \mu \left( {\mathscr{J} - \chi } \right)}\\ {\mathit{\Lambda }_{i,j}^\mathscr{O} = \mathit{\Lambda }_{i,j}^\mathscr{O} + \mu \left( {{\mathscr{O}_{i,j}} - {\mathscr{L}_{i,j}} - {\mathscr{S}_{i,j}}} \right)}\\ {\mathit{\Lambda }_{i,j}^\mathscr{L} = \mathit{\Lambda }_{i,j}^\mathscr{L} + \mu \left( {{\mathscr{L}_{i,j}} - {\mathscr{J}_{i,j}}} \right)} \end{array}} \right. $ (18)

最后,对于χk+1的求解,式(15)是一个凸优化模型,有如下的解析解

$ \begin{array}{l} {\mathit{\boldsymbol{\chi }}^{k + 1}} = {\left( {\mu {I_d} - \lambda {\mathit{\boldsymbol{D}}^{\rm{T}}}\mathit{\boldsymbol{D}} + 2c \cdot {I_d}} \right)^{ - 1}} \cdot \left( {\mu \left( {J + {\mathit{\Lambda }_X}/\mu } \right) + \lambda \mathit{\boldsymbol{D}}_x^{\rm{T}}\left( {{d_x} - {b_x}} \right) + \lambda \mathit{\boldsymbol{D}}_y^{\rm{T}}\left( {{d_y} - {b_y}} \right) + } \right.\\ \;\;\;\;\left. {\lambda \mathit{\boldsymbol{D}}_z^{\rm{T}}\left( {{d_z} - {b_z}} \right) + 2cu} \right) \end{array} $ (19)

总结上述分步迭代的最优化过程,可以获得本文提出算法的LLR-L1-2SSTV模型求解,即表 1.

表 1 LLR-L1-2SSTV算法步骤 Table 1 Steps of LLR-L1-2SSTV algorithm
4 实验结果与分析

为了验证本文所提出的LLR-L1-2SSTV算法的有效性,将其用于模拟及真实数据实验.选用四种不同的高光谱去噪模型:NAILRMA[7],LRMR[4],LRTV[13],LLRSSTV[14]作为对比,以验证本文提出的LLR-L1-2SSTV模型的有效性.所有对比算法的参数都参照所在文献给出的最优参数进行模拟和仿真.去噪前,将高光谱数据的灰度值逐波段归一化到[0, 1]区间.

对于模型的复原效果,主要采用两种类型的标准进行评价,第一种是直观的复原图像的视觉效果,此为定性评价标准;第二种则是峰值信噪比(Peak Signal-to-Noise Ratio, PSNR),结构相似度(Structural Similarity Index, SSIM)[24],光谱角(Spectral Angle Distance, SAD)[14]等定量的数值评价标准.对复原后的高光谱图像逐波段计算定量评价指标,然后将所有波段计算的指标平均,建立最终的数值评价标准:平均峰值信噪比(MPSNR)、平均结构相似度(MSSIM)、平均光谱角(MSAD).通常来说,MPSNR、MSSIM值越高,MSAD值越低,去噪后的图像质量越高,去噪方法更具优越性.

4.1 模拟数据实验 4.1.1 数据介绍

本节选用2个高光谱数据集进行模拟实验,第1个数据集是反射光学系统成像光谱仪(ROSIS-03)所拍摄的Pavia Centre,空间尺寸为1 096×1 096,共102个波段.由于该数据集中的一部分波段被噪声污染严重,不能作为图像去噪结果的参照,故除去了这一部分污染严重的波段.由于篇幅限制,本节选取了空间尺寸为200×200,共80波段的数据进行实验.第2个数据集是高光谱数字图像采集传感器(HYDICE)拍摄的华盛顿特区(Washington DC National Mall),全景大小为1 208×307,共191个波段.本节选用了256×256×191的子块进行实验.模拟实验中主要向高光谱数据添加高斯噪声、稀疏噪声、死线、条带及其混合噪声,具体分为以下四种情况.情况1:对不同的波段添加强度相同的高斯噪声(G)和稀疏椒盐噪声(P)的混合噪声,共有2种强度,分别为G=0.025,P=0.05;G=0.075,P=0.15.情况2:对不同的波段添加不同强度的噪声,其中高斯噪声的方差和椒盐噪声的百分比强度分别在0~0.2之间随机变化.情况3:高斯、脉冲噪声的设置与情况2相同;此外,再给Washington DC的第78~110波段及Pavia City Centre的70~80波段添加死线,死线的数目在3~10之间随机变化,死线的宽度在1-3之间随机变化.情况4:高斯、脉冲噪声及死线的设置与情况3相同;此外,再给Washington DC的第100~130波段及Pavia City Centre的第66-75波段添加竖直条带,条带宽度为1个像素,条带数目在20~40之间随机变化.

4.1.2 模拟数据实验

针对Washington DC National Mall和Pavia Centre数据,表 2列出了各方法复原效果的各项数值评价指标.在噪声情况1下,本文方法在MPSNR,MSSIM上均表现出最高的数值.LRMR模型虽然将HSI分割成三维重叠图块,并通过整合平均的形式整合所有图块,从而得到去噪的高光谱图像,但总体效果相对一般.NAILRMA模型在稀疏椒盐噪声较小的情况下,对高斯噪声的去除表现了较好的效果,但由于其仅利用光谱低秩信息[6],故随着稀疏噪声的加强,其在图像去噪方面的效果迅速下降.LRTV模型利用了光谱低秩信息,同时用全变差探索图像的空间平滑信息,是LLRSSTV的特殊化[14].相较于LLRSSTV,本文模型改进了SSTV正则项,在利用高光谱局部低秩的同时,更好地探索了全局空间稀疏与光谱低秩先验,因此,在PSNR,SSIM,MSAD三项指标值上有较大幅度的提升.

表 2 模拟实验中的定量评价结果 Table 2 Quantitative evaluation results of simulated experiment

图 1(a)(b)是在Washington DC中添加方差为0.075的高斯噪声和百分比强度为0.15的稀疏椒盐噪声后各方法对应去噪结果的SSIM和PSNR图,图 2(a)(b)绘制了情况1下,Pavia数据集下各方法的PSNR与SSIM曲线图.总体而言,在PSNR指标值上本文模型明显高于其余对比方法(NAILRMA方法的PSNR大幅度低于其他方法,故未在图中列出),这也体现在了复原图像的视觉效果和其余几项数值评价指标上,见表 2图 2.

图 1 情况1、4下不同方法复原后的SSIM和PSNR值 Fig.1 PSNR and SSIM values of each band of the Pavia Centre dataset in case 1 and case 4
图 2 不同方法在情况1、情况4下复原后的SSIM和PSNR值(Pavia) Fig.2 PSNR and SSIM values of each band in the experiment with the Pavia city Centre image in case 1 and 4

相对于上述每个波段添加相同强度噪声的实验组,下面对不同波段添加强度各异的噪声以形成对照.在情况2、3、4的条件下对Washington DC和Pavia Centre的不同波段分别添加方差在0~0.2之间随机变化的高斯噪声,以及百分比强度在0~0.2之间随机变化的稀疏噪声;并在此随机噪声的基础上添加死线及条带.图 1图 2分别是Washington DC和Pavia Centre去噪结果的SSIM和PSNR图,虽然由于第20~40波段的图像质量较差,原图含明显噪声,使得去噪不完全的LRTV的复原图更接近原图,获得更高的PSNR、SSIM值,但是在其余图像质量较好、细节信息保留完整的波段上,本文模型很好的去除了噪声,同时保留了较为完整的细节信息,从而取得了最高的PSNR与SSIM.

视觉效果方面,针对Washington DC数据,图 3是第81个波段在去噪前后的结果.图 3(a)为第81个波段的原始图像,而图 3(b)是其加噪声后的含噪图像,由于噪声强度较高,几乎分辨不出原始图像,图 3(c)~(g)是不同方法去噪后的图像.根据图 3局部放大的结果.明显地,NAILRMA,LRMR都有不同程度的噪声残留;LRTV受限于全局低秩的约束,造成图像部分细节丢失;LLRSSTV只去除了部分噪声,对死线的去除效果很不理想.而本文的LLR-L1-2SSTV模型由于在空间低秩先验的探索方面具有优势,可以有效地去除混合噪声,同时保持局部细节与纹理信息,故获得了最好的视觉复原效果,且在PSNR值和SSIM值上均高于对比方法,见表 2.Pavia Centrey数据则以第73个波段作为图像示例,图 4(a)为原始无噪图像,图 4(b)展示的是添加上述噪声后的图像,图 4(c)~(g)为经不同方法去噪后的图像.由图可见,相对于对比方法,LLR-L1-2SSTV模型在有效去除稀疏噪声的同时,更好地保持了局部细节与纹理信息,这是因为本文模型中的L1-2SSTV正则项实现了对空间稀疏及光谱低秩信息的综合利用,相对于对比方法探索到了更多的先验信息.

图 3 模拟数据实验情况4下Washington DC数据的去噪结果 Fig.3 Denoising results of Pavia with Gaussian and Salt-and-Pepper noise in case 4
图 4 模拟实验情况4下Pavia数据第73波段的去噪结果 Fig.4 Denoising results of band 73 of Pavia in case 4

上述实验分析了模型在整幅HSI上的复原效果,下面进一步探究对比方法及本文的LLR-L1-2SSTV模型在HSI局部像素点上的复原效果,由于大部分像素点上的复原效果相近,本文随机选取了像素点作为示例,进一步对比了图像在去噪前后的光谱曲线,以及复原图像与原始高光谱图像的差值曲线.光谱曲线与原图像越接近,差值曲线波动范围越小,曲线越平滑,去噪效果越好.图 5图 6是不同方法去噪后的图像在Washington DC的像素点(235, 97)、Pavia的像素点(100, 120)的光谱曲线.可以发现,针对NAILRMA,LRMR,LRTV,LLRSSTV,相较于原始图像,光谱曲线都有不同程度的波动,这是噪声没有完全去除所导致的结果.同时,LLR-L1-2SSMTV的光谱曲线整体波动不明显,且在中间波段(大约第30~55波段)很好的贴合了原HSI的光谱曲线.侧面反映了本文模型在混合噪声去除方面的有效性.

图 5 模拟实验情况2下在像素(235, 97)的光谱曲线 Fig.5 Spectrum of pixel (235, 97) in case 2 (Washington DC)
图 6 模拟实验情况2下在像素(100, 120)的光谱曲线 Fig.6 Spectrum of pixel (100, 120) in case 2 (Pavia)
4.2 真实数据实验

Indian Pines数据是由机载可见红外成像光谱仪(AVIRIS))采集的.空间尺寸为145×145,一共有220个波段.该数据集的有些波段受到脉冲噪声和高斯白噪声污染严重,同时部分波段保持了较高的图像质量.对于Indian Pines数据的去噪主要以复原噪声波段和保留高质量波段的图像细节为基准.图 7展示了去噪前和经多种方法去噪后的第150波段的图像.明显地,LRMR和LLRSSTV方法去除了部分噪声,但去噪并不彻底(见图 7(b)(e)).NAILRMA,LRTV虽然在去噪方面展示了较好的性能,但在平滑噪声的同时也丢失了部分图像细节(见图 7(c)(d)).在上述定性的视觉评价基础上,利用定量的Q-测度(表 3)及均值剖面(图 8)对去噪结果进行盲评价,Q-测度指标越低、均值剖面图波动越小图像质量越高[25],综合图 7的视觉去噪效果,可见本文方法在真实数据去噪方面取得最好的效果.

图 7 不同方法复原的Indian Pines第150个波段的图像 Fig.7 Band 150 of the Indian Pines dataset before and after denosing via different methods
表 3 Indian Pines数据上的Q-测度评价指标 Table 3 Hyperspectral image assessment on the Indian Pines
图 8 Indian Pines图像去噪前后的竖直均值剖面图(第150个波段) Fig.8 Band 150 of the Indian Pines vertical mean profile before and after denosing via different methods
4.3 灵敏性分析

以情况2下的Pavia数据为例,给出参数的灵敏性分析.参数r区分了信号与噪声,意味着可以筛选出前r个有用的主成分分量.如图 9(a), (b)所示,本文选取了最优的去噪结果,在去噪过程中对Pavia高光谱数据的秩r给出估计.图 9(c), (d)给出了该情况下TV项循环次数的最优或者次优估计.一方面,由于图像中混合噪声强度的增加,TV的作用更加明显,因此τ不能过小,另一方面,当正则化参数τ的值相较λ过大时,图像对于高斯噪声的分离效果就会得到抑制.其次,常数α用于平衡各向异性SSTV和各向同性SSTV,在模拟数据实验和真实数据实验中我们将α固定为0.2,获得了最优的去噪结果.在该噪声类型下,参数设置为r=3,λ=0.02,τ=0.009,α=0.2,nIter=25可取得最好的去噪效果.此外,针对Washington DC、Pavia数据,表 4直观地比较了在情况1-4的噪声条件下各算法的平均运行时间.

图 9 秩及迭代次数的灵敏性分析 Fig.9 Sensitivity analysis of the rank and iteration
表 4 各方法的平均运行时间 Table 4 Average running time of each method
5 结论

不同类型的噪声具有不同的统计特性,而且混合噪声的存在也很大程度地限制了HSI的后续处理及应用精度.针对此问题,本文根据HSI的低秩与稀疏先验,建立稀疏表达能力更强的L1-2空谱全变差正则项,并联合分块低秩及全变差的优势,提出了一种基于局部核范数最小化和全局L1-2空谱全变差正则化的高光谱复原模型.该模型不仅能够有效去除高斯噪声、脉冲噪声、死线、条带及其混合噪声,而且减少了对噪声独立同分布假设的依赖,能部分抑制与结构相关的噪声.对模拟的和真实的高光谱数据进行大量实验仿真的结果表明,与经典、最新的基于低秩和全变差的复原方法相比,本文模型复原结果的平均峰值信噪比提高1.36 dB,平均结构性相似指标提高0.004,而Q-测度降低1.35,平均光谱角降低0.64,复原精度大幅度提高,且算法更具鲁棒性.

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