光子学报  2019, Vol. 48 Issue (10): 1048001  DOI: 10.3788/gzxb20194810.1048001
0

引用本文  

翁远航, 王洪, 陈佩君. 高斯势垒/阱作用下非局域矢量光孤子的传输特性[J]. 光子学报, 2019, 48(10): 1048001. DOI: 10.3788/gzxb20194810.1048001.
WENG Yuan-hang, WANG Hong, CHEN Pei-jun. Propagation of Nonlocal Vector Solitons under Gauss Barrier or Trap[J]. Acta Photonica Sinica, 2019, 48(10): 1048001. DOI: 10.3788/gzxb20194810.1048001.

基金项目

广东省科技计划项目(Nos.2015B010127013,2016B01012300,2017B010112003),广州市科技计划项目(Nos.201604046021,201704030139,201905010001),中山市科技发展专项资金项目(Nos.2017F2FC0002,2017A1009,2019AG014)

第一作者

翁远航(1993-), 男, 博士研究生, 主要研究方向为矢量空间光孤子及其相互作用.Email:phdwengyh@mail.scut.edu.cn

通讯作者

王洪(1964-), 男, 教授, 博士, 主要研究方向为非线性光学、光通信网络与器件、微纳光电材料与器件。Email:phhwang@scut.edu.cn

文章历史

收稿日期:2019-08-15
录用日期:2019-09-11
高斯势垒/阱作用下非局域矢量光孤子的传输特性
翁远航1 , 王洪1,2 , 陈佩君1     
(1 华南理工大学 电子与信息学院, 广州 510641)
(2 华南理工大学 广东省光电工程技术研究开发中心, 物理与光电学院, 广州 510641)
摘要:非局域非线性介质中高斯势垒或势阱作用下矢量光孤子的传输特性,由具有高斯型线性势的耦合非局域非线性薛定谔方程描述,通过平方算子法对方程进行数值计算,并利用分步法仿真矢量光孤子的传输.在非局域非线性大块介质中,异相位矢量孤子的分量总是自发地分离,高斯势垒可以抑制分量间的排斥作用;同相位矢量孤子的分量则总是自发地融合,高斯势阱可以抑制分量间的吸引作用.通过定量分析势垒高度(或势阱深度)或宽度与矢量孤子两个分量在归一化传输距离为500处的间距之间的关系,发现如果势垒(或势阱)的高度(或深度)及宽度太大或太小,高斯线性势都不能抑制这一过程,甚至会恶化矢量光孤子的传输.对于异相位孤子,最有效抑制分量分离过程的高斯势垒设置是高度为1.10,宽度为1.00;对于同相位孤子,最有效抑制分量融合过程的高斯势阱应设置是深度为-1.50,宽度为1.00.研究结果可为全光开关、光逻辑门、光计算等光控光技术提供参考.
关键词非线性光学    孤子    数值仿真    非局域非线性    线性势    传输控制    非线性偏微分方程    
中图分类号:O436      文献标识码:A      
Propagation of Nonlocal Vector Solitons under Gauss Barrier or Trap
WENG Yuan-hang1 , WANG Hong1,2 , CHEN Pei-jun1     
(1 School of Electronics and Information Engineering, South China University of Technology, Guangzhou 510641, China)
(2 Engineering Research Centre for Optoelectronics of Guangdong Province, School of Physics and Optoelectronics, South China University of Technology, Guangzhou 510641, China)
Foundation item: Science and Technologies Plan Projects of Guangdong Province (Nos. 2015B010127013, 2016B01012300, 2017B010112003), Science and Technologies Projects of Guangzhou City (Nos. 201604046021, 201704030139, 201905010001), Science and Technology Development Special Fund Projects of Zhongshan City (Nos. 2017F2FC0002, 2017A1009, 2019AG014)
Abstract: The propagation of vector solitons in nonlocal nonlinear media with a Gauss barrier or a Gauss trap is described by the coupled nonlocal nonlinear Schrodinger equations with Gauss-type linear potential. These equations are numerically calculated by the square operator method, and the propagation of vector solitons is simulated by the step-step method. In nonlocal nonlinear bulk media, the components of out-of-phase vector solitons are always separated spontaneously, and the repulsion between them can be suppressed by a Gauss barrier. The components of in-phase vector solitons are always fused spontaneously, and the attraction between them can be suppressed by a Gauss trap. By quantitatively analyzing the relationship between the barrier heigh/depth or width and the distance between two components of vector solitons at the normalized transmission distance of 500, it is found that if the heigh/depth and width of barrier/trap are too large or too small, Gauss linear potential can not suppress this process, or even worsen it. For out-of-phase solitons, the Gauss barrier that can effectively suppress the separation should be set to 1.10 in height and 1.00 in width. For in-phase solitons, the Gauss potential well that can effectively suppress the fusion should be set to -1.50 in depth and 1.00 in width. Results in this paper may benefit the future researches about all-optical switch, optical logic-gate, optical computing and other optical control technologies.
Key words: Nonlinear optics    Solitons    Numerical simulation    Nonlocal nonlinearity    Linear potential    Control of propagation path    Nonlinear differential equation    
OCIS Codes: 190.0190;190.6135;000.4430
0 引言

非线性介质中,当光束的线性衍射和非线性自聚焦的效果相互平衡时,光束即能够保持其束宽、波前和功率不变向前传输,这类光束被称为空间光孤子.空间光孤子可以实现各种复杂的传输动力学过程,如吸引[1, 2]、排斥[1, 2]和呼吸[3, 4]等,从而可以实现复杂的光操作.能够支持空间光孤子传输的非线性介质,根据非线性影响的范围不同,可以分为局域型和非局域型两大类.对于非局域非线性介质,包括向列相液晶[5-6]、热非线性液体[7]、铅玻璃[8-9]等,非线性造成的波导不仅影响光束所在区域的光场分布,还会影响到光束周围的区域.相比于局域非线性介质,非局域非线性介质更可能支持具有复杂结构的孤子,如多极孤子[10-11]、旋涡孤子[12]和矢量孤子[13-15]等.其中矢量孤子组分之间的相互作用揭示了其在全光网络、光逻辑门上的应用潜力.2015年,IZDEBSKAYA Y V等成功抑制了非局域涡旋孤子由于方位角不稳定产生的分裂,首次在实验室获得稳定的“甜甜圈”形状的矢量涡旋孤子[13].2016年,KARTASHOV Y V在理论上证明了不论在自散焦还是自聚焦非线性介质中,宇称-时间反演(Parity-Time, PT)对称势都可以稳定矢量孤子[16].广东第二师范学院的李华刚等则证明了PT对称光学格子中矢量带隙孤子的存在[14-15].但这些对二分量矢量孤子的研究大多集中在矢量孤子的两个分量重叠的情况,主要是因为局域非线性中入射光引起的非线性波导间几乎没有重叠,为了使矢量孤子的分量之间存在非线性作用,需要将这些分量重叠在一起.

另外,为了操控光孤子的传输,设计适当的外加线性势场是一个可行性很高的方案.在实验上,利用多束激光形成的干涉图样照射晶体,使晶体发生光致折射率变化,进而形成一定形状的外加线性势,这样的方法称为光学诱导[17-18].利用一束激光对晶体进行光学诱导调制折射率,则可以写入高斯势垒或势阱、Scarf-Ⅱ势等线性势.近几年,山西大学的李禄通过PT对称的高斯势和Scarf-Ⅱ型来操控孤子的单向传输[19-20].太原工业学院的李淑青则借助外加高斯型、Scarf-Ⅱ型及周期型线性势,控制了光孤子的反射、隧穿、摆动和分裂等传输方式[21].但多数研究者关注的是一维标量光孤子的控制,通过外加线性势控制二维矢量光孤子传输的研究较少.

本文研究了非局域非线性介质中,高斯型线性势垒和势阱对二维的、分量不重叠的矢量孤子传输的影响.主要考虑了高斯势垒对异相位矢量孤子的影响,以及高斯势阱对同相位矢量孤子的影响,并定量地确定了高斯线性势的高度(或势深)与宽度对矢量孤子分量间距的影响.

1 理论模型与研究方法

矢量孤子是一类复合的非线性模式,由多束入射光入射至介质产生.考虑两束非相干且偏振方向一致的线偏振光形成的矢量孤子,其在具有外加线性势的非局域自聚焦非线性介质中的传输由无量纲化的耦合非线性薛定谔方程(Coupled Nonlinear Schrödinger Equation, CNLSE)描述[22],即

$ \left\{ \begin{array}{l} {\rm{i}}\frac{{\partial {U_1}}}{{\partial z}} + {\nabla _ \bot }{U_1} + V{U_1} + \sigma n{U_1} = 0\\ {\rm{i}}\frac{{\partial {U_2}}}{{\partial z}} + \nabla {_ \bot }{U_2} + V{U_2} + \sigma n{U_2} = 0\\ d\;\nabla {_ \bot }n - n + {\left| {{U_1}} \right|^2} + {\left| {{U_2}} \right|^2} = 0 \end{array} \right. $ (1)

式中,${\nabla _ \bot } = \frac{{{\partial ^2}}}{{\partial {x^2}}} + \frac{{{\partial ^2}}}{{\partial {y^2}}}$为二维的拉普拉斯算符,横向坐标xy正比于光束束宽w0,纵向坐标z正比于衍射长度L0=2kw02k表示介质中的波数;U1U2表示复数慢变电场,V表示外加线性势分布,n表示非局域折射率分布;d为非局域系数,d→0表示非线性介质是近似局域的,而d越大则表示非局域程度越强.图 1是弱非局域非线性(d=0.05)、弱非局域非线性(d=0.5)和强非局域非线性(d=5)时由两束光引起的非局域折射率分布.σ=±1表示介质为自聚焦非线性或自散焦非线性,本文取σ=1,即自聚焦非线性介质.

图 1 不同非局域系数时的折射率分布 Fig.1 Distribution of refractive index under different degrees of nonlocality

本文的外加线性势为

$ V = {V_0}{\rm{exp}}\left( { - \frac{{{x^2} + {y^2}}}{{a}}} \right) $ (2)

式中,V0表示势深,a表示高斯势的宽度.V0>0或V0<0则表示该高斯型线性势为势垒或势阱.

耦合方程式(1)的形式解为U1(x, y; z)=u1(x, y)exp(iμ1z),U2(x, y; z)=u2(x, y)exp(iμ2z),其中μ1μ2表示矢量孤子两个分量的传输常数.将该形式解代入式(1)得到本征方程

$ \left\{ \begin{array}{l} {\mu _1}{u_1} = \left( {{\nabla _ \bot } + V + \sigma n} \right){u_1}\\ {\mu _2}{u_2} = \left( {{\nabla _ \bot } + V + \sigma n} \right){u_2}\\ \left( {d\;\nabla {_ \bot } - 1} \right)n + {\left| {{u_1}} \right|^2} + {\left| {{u_2}} \right|^2} = 0 \end{array} \right. $ (3)

式(3)不能通过数学解析的方法得到解析解,只能采用数值计算的方式求解.采用改进后的平方算子法(Squared-Operator Method, SOM)[23]对其进行求解,接着利用分步法(Split-Step Method)[23]得到矢量孤子在传输过程中的演化情况,进而分析高斯势垒(势阱)V对矢量孤子传输的影响.为了接近实际情况,在分步法中引入随机微扰.微扰的加入并不会改变孤子的波前、相位和功率,因此并不影响传输的结果.

2 大块介质中的非局域矢量孤子

在讨论高斯线性势对非局域矢量孤子的影响之前,有必要研究非局域非线性的大块介质(V0=0)中矢量孤子的传输特性.根据矢量孤子两个分量相位差为0或π,可以分为同相位矢量孤子与异相位矢量孤子两类.其中同相位矢量孤子可以通过将两束同相位光(将激光光束通过分束器来获得)垂直入射到非局域非线性介质来实现.若将分束器后的其中一束光通过合适的相位延迟器造成π的相位延迟,或经过反射镜反射引入的半波损失,这样的两束光便可以用来实现异相位孤子.

大块介质中的同相位矢量孤子和异相位矢量孤子具有不同的传输特性.以非局域系数d=0.5的一般非局域非线性大块介质中,传输常数μ1=μ2=0.6,两个分量的间距为Δx=12的矢量孤子为例:同相位矢量孤子在经过一定距离的传输后,它的两个分量会逐渐靠近并最终融合在一起,如图 2(a)(c)所示,其中标识1和2的轨迹表示矢量孤子的两个分量,白色圆圈1和2表示入射光的位置.异相位孤子则表现为排斥作用,即矢量孤子的两个分量随着传输的进行会逐渐分离,如图 2(b)(d)所示,其中1′和2′表示分量1和2在z=500的位置.非局域系数d和间距Δx也会影响非矢量孤子的传输:弱非局域非线性(d~10-2)中矢量孤子的相互作用最明显;强非局域非线性(d~101)中矢量孤子的相互作用则不那么明显;两个分量的间距Δx越大,它们之间的相互作用则越弱,矢量孤子逐渐变化为两个标量孤子.在实验上,矢量孤子分量间的吸引或排斥作用在其他类似的系统中得到了证实.2003年,ASSANTO G等观察到液晶中矢量孤子的吸引作用,并据此设计了全光同或逻辑门[24].2009年,SKUSE B D和SMYTH N F在液晶中观察到矢量孤子分量间由于吸引作用发生的扭转现象[25].2013年,MADANI A等观察到分量重叠的矢量孤子在一定条件下由于排斥作用会发生分裂[26].也就是说,矢量孤子的融合、排斥作用是存在于各种非线性光学介质中的,而外加高斯势垒(或势阱)的方法可以抑制这些作用.

图 2 大块介质中的非局域矢量孤子 Fig.2 Nonlocal vector solitons in bulk media
3 高斯势垒/势阱对矢量孤子的作用 3.1 利用高斯势垒抑制异相位孤子的自发分离

在非局域非线性大块介质中,异相位矢量孤子的两个分量总是存在着排斥作用,从而自发地发生分离.如果这种分离现象过于明显,例如弱非局域非线性中的异相位孤子,两个分量则会很快随着传输抵达介质侧面,进而从介质侧面出射或被侧面反射、吸收.为了抑制异相位孤子分量的分离,可以在介质中引入适当的高斯势垒,如图 3.高斯势垒的高度较小(V0=0.50,a=1.00)时,势垒对异相位孤子的传输影响很小,孤子的两个分量仍会比较明显地分离,如图 3(a)(d)所示.当高斯势垒的高度较大(V0=1.50,a=1.00)时,两个分量直接的间距会迅速减小,但由于异相位矢量孤子的分量间总是存在排斥作用,其中一个分量会占据高斯势垒所在的位置,另一个分量会被“弹开”,如图 3(c)(f)所示.至于哪个分量能够占据势垒的位置,取决于该分量是否比另一个分量更快靠近势垒.具有适当的高度和宽度的高斯势垒能够有效抑制异相位孤子两个分量的排斥作用,如图 3(b)(e)所示,虽然两个分量的间距在传输距离z=500处仍会增大,但对比图 2(a)(c)中的异相位矢量孤子已经得到明显的抑制,此时V0=1.00,a=1.10.

图 3 高斯势垒作用下的非局域异相位矢量孤子 Fig.3 Nonlocal out-of-phase vector solitons under Gauss barrier

进一步地,图 4定量地描述了高斯势垒的高度和宽度对异相位矢量孤子在z=500处其分量间距的影响,其中虚线表示大块介质中异相位孤子在z=500处两个分量的间距,即Δx=44.61;实线则表示两个分量在z=500处的间距Δx随高斯势垒高度和宽度的变化.可见Δx在一定的高斯势垒高度V0或宽度a下达到最小值:当高斯势垒宽度取定为a=1时,Δxmin=26.39(V0=1.10),如图 4(a)所示;当高斯势垒高度取定为V0=1.00时,Δxmin=35.01(a=1.15),如图 4(b)所示.

图 4 高斯势垒高度和宽度对非局域异相位矢量孤子的影响 Fig.4 Effect of Gauss barrier height and width on nonlocal out-of-phase solitons
3.2 利用高斯势阱抑制同相位孤子的自发融合

对于非局域非线性大块介质中的同相位矢量孤子,其两个分量会很快地相互靠近并融为一体.这样的结果通常是孤子所在位置的光功率太大,产生的热效应将会损坏介质.图 5证明了高斯势阱的存在可以有效抑制同相位矢量孤子两个分量的融合.当高斯势阱的深度较小(V0=-0.75,a=1.00)时,这两个分量会迅速靠近,并且很快发生相互排斥,在z≈400处到达介质侧面,因此在z=500处的出射面探测不到孤子,如图 5(a)(d)所示;当高斯势阱的深度较大(V0=-3.00,a=1.00)时,同相位孤子的两个分量仍会产生排斥作用,在z=500处两个分量的间距达到Δx=43.35,如图 5(c)(f)所示;适当选择高斯势阱的深度和宽度(V0=-1.50,a=1.00),同相位孤子的两个分量不会融合,它们的间距也不至于太大,如图 5(b)(e)所示.

图 5 高斯势阱作用下的非局域同相位矢量孤子 Fig.5 Nonlocal in-phase vector solitons under Gauss trap

图 6定量地描绘了同相位孤子的两个分量在z=500处的间距与高斯势阱的深度和宽度的关系,由于同相位矢量孤子的分量在大块介质中会融合成一体,因此没有绘出如图 4中的虚线.类似于异相位矢量孤子,同相位孤子两个分量在z=500处的间距Δx在一定的高斯势阱深度V0或宽度a下达到最小值:当高斯势阱宽度取定为a=1.00时,Δxmin=29.50(V0=-1.65),如图 6(a)所示;当高斯势阱深度取定为V0=-1.50时,Δxmin=29.53(a=1),如图 6(b)所示.图 6(a)中的阴影表示,当势阱深度V0<-0.60时同相位矢量孤子的分量总会融合,此时分量间距Δx已经没有意义.

图 6 高斯势阱深度和宽度对非局域同相位矢量孤子的影响 Fig.6 Effect of Gauss trap depth and width on nonlocal in-phase solitons
4 结论

本文研究了非局域非线性介质中,高斯势垒和高斯势阱对异相位和同相位矢量孤子的稳定作用.在非局域非线性大块介质中,异相位孤子在传输过程中它的两个分量会存在排斥作用从而发生分离现象,而同相位孤子的两个分量表现为吸引作用从而在传输过程中将融为一体.这两种情况在非局域介质中引入高斯势垒或高斯势阱可以得到抑制.更具体地,高斯势垒相当于为异相位矢量孤子的分量间引入吸引作用,从而抑制其自发的分量分离.高斯势垒的高度较大时异相位孤子的其中一个分量会占据势垒的位置而将另一个分量“弹开”,只有适当的高度才能较好抑制异相位孤子的分离现象而不产生其他作用,其中对分离作用抑制得最好的势垒设置是a=1.00,V0=1.10.对于同相位孤子,高斯势阱相当于引入排斥作用,从而抑制其自发的融合.高斯势阱的深度较小时,同相位孤子的两个分量会迅速靠近并分开,深度较大时两个分量直接的排斥作用也变得更加明显,恰当设置势阱深度和宽度才能较好抑制同相位孤子的融合现象,其中对融合作用抑制得最好并使两个分量间距最小的势阱设置是a=1.00,V0=-1.65.高斯势垒(或势阱)的高度(或深度)及宽度太大或太小,高斯势垒(或势阱)都不能抑制矢量孤子的分离或融合现象,甚至会恶化矢量光孤子的传输.本文分析的结果可填补高斯势场对二维的、分量不重叠的矢量孤子传输理论研究的空白,并能够为基于矢量孤子分量相互作用的全光器件的设计提供参考.

参考文献
[1]
RASMUSSEN P D, BANG O, KRÍLIKOWSKI W. Theory of nonlocal soliton interaction in nematic liquid crystals[J]. Physical Review E, 2005, 72: 066611. DOI:10.1103/PhysRevE.72.066611
[2]
CHEN W, SHEN M, KONG Q, et al. Interactions of nonlocal dark solitons under competing cubic-quintic nonlinearities[J]. Optics Letters, 2014, 39(7): 1764-1767. DOI:10.1364/OL.39.001764
[3]
ALBERUCCI A, JISHA C P, ASSANTO G. Breather solitons in highly nonlocal media[J]. Journal of Optics, 2016, 18(12): 125501. DOI:10.1088/2040-8978/18/12/125501
[4]
STRINIC A I, PETROVIC M, TIMOTIJEVIC D V, et al. Breathing solitons in nematic liquid crystals[J]. Optics Express, 2009, 17(14): 11698-11709. DOI:10.1364/OE.17.011698
[5]
PECCIANTI M, CONTI C, ASSANTO G. Interplay between nonlocality and nonlinearity in nematic liquid crystals[J]. Optics Letters, 2005, 30(4): 415-417. DOI:10.1364/OL.30.000415
[6]
PICCARDI A, RESIDORI S, ASSANTO G. Nonlocal soliton scattering in random potentials[J]. Journal of Optics, 2016, 18(7): 07LT01. DOI:10.1088/2040-8978/18/7/07LT01
[7]
DREISCHUH A, NESHEV D, PETERSEN D E, et al. Observation of attraction between dark solitons[J]. Physical Review Letters, 2006, 96: 043901. DOI:10.1103/PhysRevLett.96.043901
[8]
ROTSCHILD C, COHEN O, MANELA O, et al. Solitons in nonlinear media with an infinite range of nonlocality:first observation of coherent elliptic solitons and vortex-ring solitons[J]. Physical Review Letters, 2005, 95: 213904. DOI:10.1103/PhysRevLett.95.213904
[9]
ROTSCHILD C, ALFASSI B, COHEN O, et al. Long-range interactions between optical solitons[J]. Nature Physics, 2006, 2: 769-774. DOI:10.1038/nphys445
[10]
ROTSCHILD C, SEGEV M, XU Z, et al. Two-dimensional multipole solitons in nonlocal nonlinear media[J]. Optics Letters, 2006, 31(22): 3312-3314. DOI:10.1364/OL.31.003312
[11]
HUANG J, WENG Y, WANG H. Stability and internal interaction of multipole solitons in nonlocal PT-symmetric lattices[J]. Optics Express, 2018, 26(9): 11667-11677. DOI:10.1364/OE.26.011667
[12]
IZDEBSKAYA Y V, SHVEDOV V G, JUNG P S, et al. Stable vortex soliton in nonlocal media with orientational nonlinearity[J]. Optics Letters, 2018, 43(1): 66-69. DOI:10.1364/OL.43.000066
[13]
IZDEBSKAYA Y V, ASSANTO G, KRÍLIKOWSKI W. Observation of stable-vector vortex solitons[J]. Optics Letters, 2015, 40(17): 4182-4185. DOI:10.1364/OL.40.004182
[14]
LI L, ZHU X, LI H, et al. Vector solitons in parity-time symmetric lattices with nonlocal nonlinearity[J]. Journal of Optics, 2016, 18(9): 095501. DOI:10.1088/2040-8978/18/9/095501
[15]
ZHU X, CAO P, SONG L, et al. Mixed-gap vector solitons in parity-time-symmetric mixed linear-nonlinear optical lattices[J]. Journal of the Optical Society of America B, 2014, 31(9): 2109-2115. DOI:10.1364/JOSAB.31.002109
[16]
KARTASHOV Y V. Vector solitonsin parity-time-symmetric lattices[J]. Optics Letters, 2016, 38(14): 2600-2603.
[17]
FLEISCHERJ W, CARMON T, SEGEV M, et al. Observation of discrete solitons in optically induced real time waveguide arrays[J]. Physical Review Letters, 2003, 90(2): 023902-023905. DOI:10.1103/PhysRevLett.90.023902
[18]
EFREMIDIS N K, SEARS S, CHRISTODOULIDES D N, et al. Discrete solitons in photorefractive optically induced photonic lattices[J]. Physical Review E, 2002, 66(4): 046602. DOI:10.1103/PhysRevE.66.046602
[19]
HE Xue-qing, LI Lu. Manipulation of soliton scattering in PT-symmetry Gaussian potential[J]. Journal of Quantum Optics, 2015, 21(2): 148-152.
贺雪晴, 李禄. 基于PT对称高斯势的孤子单向散射的操控[J]. 量子光学学报, 2015, 21(2): 148-152.
[20]
LI Cui-cui, LI Lu. Manipulation of soliton scattering in PT-symmetry Scarf-Ⅱ potential[J]. Journal of Shanxi University (Natural Science Edition), 2016, 39(1): 74-79.
李翠翠, 李禄. 基于PT对称Scarf-Ⅱ势的孤子单向散射的操控[J]. 山西大学学报(自然科学版), 2016, 39(1): 74-79.
[21]
LI Shu-qing, QIAO Shi-zhu, CHENG Yong-xi, et al. Controlling optical solitons in self-focusing Kerr medium by adding potential barrier (trap)[J]. Acta Photonica Sinica, 2018, 47(9): 0919003.
李淑青, 乔士柱, 程永喜, 等. 添加势垒(阱)对光孤子在自聚焦克尔介质中传输的操控作用[J]. 光子学报, 2018, 47(9): 0919003.
[22]
XU Z, KARTASHOV Y V, TORNER L. Stabilization of vector soliton complexes in nonlocal nonlinear media[J]. Physical Review E, 2016, 73: 055601.
[23]
YANG Jian-ke. Nonlinear waves in integrable and nonintegrable systems[M]. Philadelphia: SIAM, 2010: chap. 7.
杨建科. 可积与不可积系统中的非线性波[M]. 费城: 工业与应用数学学会出版社, 2010: 第7章.
[24]
ASSANTO G, PECCIANTI M, CONTI C. Optical spatial solitons in nematic liquid crystals[J]. Optics and Photonics News, 2003, 14(2): 44-48. DOI:10.1364/OPN.14.2.000044
[25]
SKUSE B D, SMYTH N F. Interaction of two-color solitary waves in a liquid crystal in the nonlocal regime[J]. Physical Review A, 2009, 79: 063806. DOI:10.1103/PhysRevA.79.063806
[26]
MADANI A, BEECKMANC J, NEYTSC K. An experimental observation of a spatial optical soliton beam and self splitting of beam into two soliton beams in chiral nematic liquid crystal[J]. Optics Communications, 2013, 298-299: 222-226. DOI:10.1016/j.optcom.2013.02.050