光子学报  2019, Vol. 48 Issue (10): 1048002  DOI: 10.3788/gzxb20194810.1048002
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引用本文  

浦绍质, 厉颖佳, 丛文博, 等. 竞争非局域非线性向列相液晶中亮孤子[J]. 光子学报, 2019, 48(10): 1048002. DOI: 10.3788/gzxb20194810.1048002.
PU Shao-zhi, LI Ying-jia, CONG Wen-bo, et al. Bright Solitons in Liquid Crystals with Competing Nonlocal Nonlinearities[J]. Acta Photonica Sinica, 2019, 48(10): 1048002. DOI: 10.3788/gzxb20194810.1048002.

基金项目

国家自然科学基金(No.61405049),黑龙江省自然科学基金(Nos.QC2015086,F2016023)

第一作者

浦绍质(1981-), 男, 副教授, 博士, 主要研究方向为空间光孤子.Email:shaozhipu@126.com

文章历史

收稿日期:2019-09-11
录用日期:2019-09-27
竞争非局域非线性向列相液晶中亮孤子
浦绍质 , 厉颖佳 , 丛文博 , 张留洋     
(哈尔滨理工大学 理学院 物理系, 哈尔滨 150080)
摘要:针对热效应的非局域程度和分子取向效应的非局域程度不等的情况,利用JUNG P S等提出的模型研究了具有竞争非局域非线性效应的向列相液晶中的亮孤子特性.通过变分法得到光束振幅、宽度、啁啾和位相等参数随传输距离的变化规律,即光束振幅和宽度与入射光的功率息息相关,光束宽度随热非局域程度增加单调递减,随热非线性系数增加单调递增.在此基础上给出和入射光束功率密切相关的势能函数.利用势能函数预言了入射光束功率越大亮孤子宽度越小.通过解变分方程组可得,入射光功率为4或8时,光束宽度均随传输距离周期性震荡.这两个震荡趋势有明显的区别,功率为4时光束传输过程中宽度始终大于或等于初始宽度,功率为8时光束传输过程中宽度始终小于或等于初始宽度.该变化规律与数值仿真结论一致.
关键词孤子    竞争    非局域    液晶    热效应    
中图分类号:O438      文献标识码:A      
Bright Solitons in Liquid Crystals with Competing Nonlocal Nonlinearities
PU Shao-zhi , LI Ying-jia , CONG Wen-bo , ZHANG Liu-yang     
(Department of Physics, School of Science, Harbin University of Science and Technology, Harbin 150080, China)
Foundation item: The National Natural Science Foundation of China (No. 61405049), the Natural Science Foundation of Heilongjiang (Nos. QC2015086, F2016023)
Abstract: A model which is proposed by JUNG P S et al. is employed to demonstrate analytically properties of individual bright solitons in liquid crystals with competing nonlinearities under the condition of unequal nonlocality of the thermal effect and the reorientational effect. The evolution of the parameters, such as amplitude, width, chirp and phase with transmission distance, are obtained by the variational method. The amplitude and width are closely related to the beam power. The beam width decreases monotonously with the increase of thermal nonlocality and increases monotonously with the increase of thermal nonlinearity. In this case, the equivalent potential which is relate the power of the beams is also obtained. It is predicted by the potential that the larger the incident beam power is, the smaller the bright soliton width is. It is obtained by the variational method that the beam width oscillates periodically with the transmission distance when the incident power is 4 or 8. There are obvious differences between the two oscillation trends. When the power is 4, the width of the beam is always greater than or equal to the initial width. When the power is 8, the width of the beam is always less than or equal to the initial width. The variation of beam width with transmission distance is consistent with the numerical simulation results.
Key words: Solitons    Competing    Nonlocal    Liquid crystals    Thermal effect    
OCIS Codes: 190.3100;190.6135;190.3270
0 引言

非局域孤子指非局域介质中光束衍射效应与自聚焦效应相互抵消,形成的能在传输过程中保持形状不变的光束.非局域材料是自然界中的一大类材料,包括向列相液晶、光折变材料、软物质等.通常,入射光束在这类材料中传输时引起的折射率改变不仅与该点的光强有关,还和该点周围区域的光强有关.竞争非局域指非局域介质中两种非线性效应的竞争效应,如光在向列相液晶中传输时热效应和分子取向效应的竞争[1].1997年SNYDER A W和MITCHELL D J巧妙地把光在强非局域介质中传输模型简化为线性谐振子模型.此后,在国内外掀起了多轮非局域孤子的研究热潮[2].

大量的实验和理论研究发现非局域孤子具有一些局域孤子不具备的特点,如反位相亮孤子可以相互吸引、暗孤子间存在相互吸引力[3-8]、非局域介质中存在稳定的高维孤子[9]、非局域介质中存在新奇的孤子(非相干孤子、时空孤子和高阶孤子)[10-16].上述这些奇特现象的发现是因为非局域非线性可以看作一种对非线性效应的时间或空间平均效应[17].

在众多研究中,国内华南师范大学郭旗及其团队对非局域孤子的理论和实验研究做了众多杰出的贡献,发现和非局域孤子相比局域介质中亮孤子具有更大的相移[18-19],提出外加电压能改变向列相液晶的非局域程度[6],发现非局域介质中存在短程相互作用和长程相互作用[20],深入分析了非局域程度对亮孤子以及亮孤子相互作用的影响[21-23].上海大学王奇及其团队对非局域介质中暗孤子及其相互作用的研究也做出了巨大的贡献[7, 14-15],此外他们还深入研究了非局域介质中的非相干孤子[24-25].

国外非局域孤子研究最著名的代表是意大利的ASSANTO G及其领导的小组,他们利用向列相液晶在实验和理论上取得了许多杰出的成果[26-27].由于液晶具有良好的电光响应、简单结构和可调的非局域非线性,向列相液晶已经成为研究非局域孤子的理想材料.向列相液晶中孤子的特点可能为光束的操控和光信息处理提供新的途径.通常,向列相液晶中孤子的形成是由于非寻常光在液晶中传输时会诱导分子取向效应.在这种情况下,需要利用一些冷却措施来避免热效应对孤子形成的影响.有趣的是,WARENGHEM M等实验发现寻常光在向列相液晶中传输时诱导的热效应也可以形成孤子[28].迄今,光束在向列相液晶中传输时,热效应和分子取向效应同时存在诱导的现象少有报道.

近十年来,竞争非局域介质中的空间孤子吸引了又一波研究热潮[1, 29-31].大量的研究发现,两种非局域非线性的竞争导致了复杂结构孤子的形成,通常这类孤子在单一非局域非线性材料中是不存在的.如具有奇数和偶数结构的孤子、带隙孤子和高阶涡旋孤子.特别地,杜艳伟等发现竞争非局域非线性导致同位相亮孤子间存在相互排斥力[32].之后,ESBENSEN B K等得到了相似的结论,此外,他们利用变分法详细研究了竞争非局域材料中的孤子[33].迄今,竞争非局域介质中空间孤子的研究主要集中在具有两种非线性竞争的材料,这两种非线性效应通常是相互独立的.通常折射率的改变可以写为Δn=Δn1n2,其中Δn1表示由其中一种非线性效应诱导的折射率改变,Δn2表示另外一种非线性效应诱导的折射率改变[32-33].然而,该模型并不适用于描述光在向列相液晶中的传输.在向列相液晶中,热效应和分子取向效应不是互相独立的,而是紧密联系的.因此,折射率的改变写为两种效应分别导致的折射率改变量的直接相加是不合适的.2017年,JUNG P S等对向列相液晶中热效应和分子取向效应进行了理论和实验分析,在此基础上提出了一个简化模型来描述光在具有竞争非局域非线性效应的向列相液晶中的传输,在该模型中光诱导的折射率改变可以写为Δnn1Δn2[34].利用该模型发现竞争非局域材料中存在超模式空间孤子.2019年,浦绍质等利用JUNG P S等的模型研究了具有竞争非局域效应的向列相液晶中的亮孤子特性[35].由于这个模型的解析计算非常繁琐,甚至很难获得解析解,为了计算可行,选择参数σ1=σ2.然而,热效应的非局域程度和分子取向效应的非局域程度通常不相等.本文将针对热效应的非局域程度和分子取向效应的非局域不等时的情况,用JUNG P S等的模型深入研究竞争非局域介质中的孤子特性.

1 物理模型及变分解

为了简洁起见,考虑光在(1+1)维介质中传输.在这种情况下,材料中光的演化由非线性薛定谔方程描述为

$ {\rm{i}}\frac{{\partial \psi }}{{\partial z}} + \frac{1}{2}\frac{{{\partial ^2}\psi }}{{\partial {x^2}}} + \Delta n\psi = 0 $ (1)

式中,xz分别表示归一化后的横坐标和纵坐标,ψ表示电场强度,Δn表示光在材料中传输时引起的折射率改变.当热效应和分子取向效应同时存在时,向列相液晶中光诱导的折射率改变可以写为Δnn1Δn2,这里Δn1代表分子取向效应引起的折射率改变,Δn2表示热效应引起的折射率改变[34].向列相液晶中分子取向非线性效应与光学各向异性参数Δε=ne2-n02密切相关.此处,neno分别代表寻常光和非寻常光的折射率,这两个折射率都与温度有关.因此,这种情况下Δn1和Δn2可以表示为

$ \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} {\Delta {n_2} = 1 - \gamma \int\limits_{ - \infty }^{{\rm{ + }}\infty } {{R_2}\left( {x - \xi } \right){{\left| {\psi \left( {\xi ,z} \right)} \right|}^2}{\rm{d}}\xi } }\\ {\Delta {n_1} = \int\limits_{ - \infty }^{{\rm{ + }}\infty } {{R_1}\left( {x - \eta } \right){{\left| {\psi \left( {\eta ,z} \right)} \right|}^2}{\rm{d}}\eta } } \end{array}} \right. $ (2)

式中,γ表示热非线性效应,称它为热光非线性系数,${R_{1, 2}} = {(\sqrt \pi {\sigma _{1, 2}})^{ - 1}}{\rm{exp}}( - {x^2}/\sigma _{1, 2}^2) $表示材料的非局域响应函数.此处,σ1σ2分别表示分子取向效应和热效应的非局域程度.通常热效应的非局域程度大于分子取向效应的非局域程度,即σ2σ1.式(2)具有如下的拉格朗日密度

$ \begin{array}{l} \mathscr{L} = \frac{{\rm{i}}}{2}\left( {{\psi ^*}{\psi _z} - \psi \psi _z^*} \right) - \frac{1}{2}{\left| {{\psi _x}} \right|^2} + \frac{{|\psi {|^2}}}{2}\int\limits_{ - \infty }^\infty {\left( {{R_1}(x - \xi ){{\left| {\psi \left( \xi \right)} \right|}^2}{\rm{d}}\xi - \gamma \frac{{|\psi {|^2}}}{2}} \right.} \\ \;\;\;\;\;\;\left[ {\int {{R_1}} (x - \xi ){{\left| {\psi \left( \xi \right)} \right|}^2}{\rm{d}}\xi \int {{R_2}} (x - \eta )|\psi (\eta ){|^2}{\rm{d}}\eta } \right] \end{array} $ (3)

式中,*代表复共轭.

为了得到式(1)的孤子解,选择高斯试探解

$ \psi \left( {x,z} \right) = A\left( z \right)\exp \left[ {{\rm{i}}\theta (z) + {\rm{i}}c(z){x^2} - \frac{{{x^2}}}{{2{W^2}}}} \right] $ (4)

式中,A表示光束的强度,θc分别表示入射光的位相和啁啾系数,W表示光束的宽度.把式(4)带入式(3)并对拉格朗日函数积分$L = \int_{ - \infty }^{ + \infty } {{\mathscr L}{\rm{d}}x} $,得到平均拉格朗日函数为

$ \begin{array}{l} L = - {A^2}W\sqrt {\rm{ \mathsf{ π} }} \frac{{{\rm{d}}\theta }}{{{\rm{d}}z}} - {A^2}{W^3}\frac{{\sqrt {\rm{ \mathsf{ π} }} }}{2}\frac{{{\rm{d}}c}}{{{\rm{d}}z}} - {A^2}{c^2}{W^3}\sqrt {\rm{ \mathsf{ π} }} - \frac{{{A^2}\sqrt {\rm{ \mathsf{ π} }} }}{{4W}} + \frac{{\sqrt {\rm{ \mathsf{ π} }} {A^4}{W^2}}}{{2\sqrt {\sigma _1^2 + 2{W^2}} }} - \\ \;\;\;\;\;\;\frac{{\gamma \sqrt {\rm{ \mathsf{ π} }} {A^6}{W^3}}}{{2\sqrt {2\sigma _2^2{W^2} + 2\sigma _1^2{W^2} + 3{W^4} + \sigma _1^2\sigma _2^2} }} \end{array} $ (5)

对式(5)中的参数AcθW取变分,得到方程组

$ \begin{array}{l} \frac{{{\rm{d}}\theta }}{{{\rm{d}}z}} = - \frac{1}{{2{W^2}}} + \frac{{{A^2}W}}{{\sqrt {2{W^2} + \sigma _1^2} }} + \frac{{{A^2}{W^3}}}{{2{{\left( {2{W^2} + \sigma _1^2} \right)}^{3/2}}}} - \frac{{3\gamma {A^2}{W^2}}}{{2\sqrt {2\sigma _2^2{W^2} + 2\sigma _1^2{W^2} + 3{W^4} + \sigma _1^2\sigma _2^2} }} - \\ \;\;\;\;\;\;\;\frac{{\gamma {A^2}{W^4}\left( {\sigma _1^2 + \sigma _2^2 + 3{W^2}} \right)}}{{2{{\left( {2\sigma _2^2{W^2} + 2\sigma _1^2{W^2} + 3{W^4} + \sigma _1^2\sigma _2^2} \right)}^{3/2}}}} \end{array} $ (6)
$ \frac{{{\rm{d}}c}}{{{\rm{d}}z}} = - 2{c^2} + \frac{1}{{2{W^4}}} - \frac{{{A^2}W}}{{{{\left( {2{W^2} + \sigma _1^2} \right)}^{3/2}}}} + \frac{{\gamma {A^4}{W^2}\left( {\sigma _1^2 + \sigma _2^2 + 3{W^2}} \right)}}{{{{\left( {2\sigma _2^2{W^2} + 2\sigma _1^2{W^2} + 3{W^4} + \sigma _1^2\sigma _2^2} \right)}^{3/2}}}} $ (7)
$ \frac{{\rm{d}}}{{{\rm{d}}z}}\left( {{A^2}W} \right) = 0 $ (8)
$ \frac{{{\rm{d}}W}}{{{\rm{d}}z}} = 2Wc $ (9)

式(6)~(9)是一组关于参数AcθW的偏微分方程组,通过解这几个方程可以得出竞争非局域介质中光束各参数(AcθW)之间的关系.根据试探解式(4)对横坐标积分可以得到光束的功率${P_0} = \int\limits_{ - \infty }^\infty {\psi (x, z){\rm{d}}x = \sqrt \pi {A^2}W} $.从式(8)可以得到一个守恒量A2W,这个守恒量再乘以常数$\sqrt \pi $可以得到孤子的能量${P_0} = \sqrt \pi {A^2}W$.因此从式(8)可以推断出孤子在传输过程中功率保持不变.式(9)两端分别对z求导,得到

$ \frac{{{{\rm{d}}^2}W}}{{{\rm{d}}{z^2}}} = 2W\frac{{{\rm{d}}c}}{{{\rm{d}}z}} + 2c\frac{{{\rm{d}}W}}{{{\rm{d}}z}} = 2W\frac{{{\rm{d}}c}}{{{\rm{d}}z}} + 4W{c^2} $ (10)

把式(7)带入式(10)整理后可以得到微分方程

$ \frac{{{{\rm{d}}^2}W}}{{{\rm{d}}{z^2}}} = \frac{1}{{{W^3}}} - \frac{{2{P_0}W}}{{\sqrt {\rm{ \mathsf{ π} }} {{\left( {2{W^2} + \sigma _1^2} \right)}^{3/2}}}} + \frac{{2\gamma P_0^2W\left( {\sigma _1^2 + \sigma _2^2 + 3{W^2}} \right)}}{{{\rm{ \mathsf{ π} }}{{\left( {2\sigma _2^2{W^2} + 2\sigma _1^2{W^2} + 3{W^4} + \sigma _1^2\sigma _2^2} \right)}^{3/2}}}} $ (11)

式中,P0表示入射光的功率.该方程可以借鉴经典力学中牛顿第二定律,等价于质量是1的粒子沿一维运动受到的力F.此时有

$ F = \frac{1}{{{W^3}}} - \frac{{2{P_0}W}}{{\sqrt {\rm{ \mathsf{ π} }} {{\left( {2{W^2} + \sigma _1^2} \right)}^{3/2}}}} + \frac{{2\gamma P_0^2W\left( {\sigma _1^2 + \sigma _2^2 + 3{W^2}} \right)}}{{{\rm{ \mathsf{ π} }}{{\left( {2\sigma _2^2{W^2} + 2\sigma _1^2{W^2} + 3{W^4} + \sigma _1^2\sigma _2^2} \right)}^{3/2}}}} = - \frac{{{\rm{d}}V}}{{{\rm{d}}W}} $ (12)

式(12)描述的力F类似于经典力学中的保守力,当F=0时表示物体的加速度为0,此处表示孤子光束的振幅和宽度不随传输距离变化.因此,令F=0可以得到孤子光束的临界功率[36].此外,借助经典力学中的概念,一维情况下F=-dV/dx,此处,V为势能函数,该式两端对坐标x积分可以势能函数.式(12)两端对W积分可以得到等价的势能函数V(W)为

$ V = \frac{1}{{2{W^2}}} - \frac{{{P_0}}}{{\sqrt {\rm{ \mathsf{ π} }} \sqrt {2{W^2} + \sigma _1^2} }} + \frac{{\gamma P_0^2}}{{{\rm{ \mathsf{ π} }}\sqrt {2\sigma _2^2{W^2} + 2\sigma _1^2{W^2} + 3{W^4} + \sigma _1^2\sigma _2^2} }} $ (13)
2 理论分析

事实上,式(13)描述的势能函数确实可以预言竞争非局域介质中亮孤子的形成.此处,$F = \frac{{{\rm{d}}V}}{{{\rm{d}}W}} = 0$ 1对应静态亮孤子.可以看出亮孤子的宽度与入射光的功率密切相关.不失一般性,选择参数σ1=1, σ2=5和γ=0.1对势能函数仿真,给出了光束功率分别为5.5、6和7时的势能曲线,如图 1所示.从图中可以看出当入射光的功率增加时光束的宽度减小.这是因为随着光束功率的增加自聚焦效应增强,此时自聚焦效应能抵消宽度较窄的光束的衍射效应.当选择合适的势能函数零点,入射光功率等于临界功率时能形成稳定传输的孤子;当入射光的功率大于临界功率时,光束宽度小于孤子光束的宽度;当入射光的功率小于临界功率时,光束宽度大于孤子光束的宽度.

图 1 不同入射功率时的势能 Fig.1 Shapes of potential for various incident powers

根据式(11)可以得到光束宽度随传输距离的变化曲线.为了验证理论分析的正确性,选择参数σ1=1, σ2=5和γ=0.1来比较理论仿真和解析结论.此处,初始位置处(z=0)的光束宽度定义为W0,该部分任意位置处的光束宽度都被归一化(除以W0).当入射功率为4时,光束宽度随传输距离周期性震荡,如图 2所示.图中虚线是分步傅里叶算法所得,数值计算中所用的初始输入和解析解中的初始输入相同,沿横向方向选择512个数据点,窗口宽度为-25到25;纵向方向步长为0.01,传输距离为10.在数值计算中利用到了积分宽度$W = \sqrt {\int_{ - \infty }^\infty {\left( {{x^2}{\psi ^2}/{\psi ^2}} \right){\rm{d}}x} } $.图中实线是变分法所得结果,可以看出在传输较短的距离内解析解和数值解基本一致.此外,从图中还可以看出光束宽度随传输距离周期性震荡,在传输过程中光束宽度始终大于或等于初始输入光束的宽度,最大宽度接近1.3.随着传输距离的增加数值解所得的宽度不再随传输距离有规律地周期性震荡,出现了不规则的振动行为.产生这种现象是因为数值计算时选择的初始输入解不是真实的孤子解.当入射功率达到8时,传输过程中光束宽度仍然以周期形式震荡,如图 3所示.和功率为4时相比,震荡周期更短,在传输过程中光束束宽度均小于或等于初始输入宽度,最小宽度为0.67左右.产生这一现象的原因是入射功率为8和4的两束输入光初始形状和宽度一样,但是功率明显不一样.在非线性介质中入射光的功率越大自聚焦能力越强,因此当功率为8的光束进入该材料时,自聚焦效应会大于光束的衍射效应,该光束向前传输时光束宽度会变窄.然而,当光束宽度变小时衍射效应又会增加,周而复始光束向前传输时宽度将出现周期性震荡,并且光束宽度总是小于或等于初始输入宽度.从图 3还可以看出传输距离小于4时解析方法和数值方法的结果符合得非常好,当传输距离大于4时两种方法得到的结果出现较大的分歧,这是因为数值仿真过程中采用的试探解与真实的孤子解有一些偏差,因此仿真过程中会出现一些能量辐射损失,可以通过寻找更精确的试探解来减小这部分误差.

图 2 P=4时光束宽度W(z)的变化 Fig.2 Evolution of beam width W(z) when P=4
图 3 P=8时光束宽度W(z)的变化 Fig.3 Evolution of beam width W(z) when P=8

众所周知,非局域介质中非局域程度越大亮孤子宽度越宽.为了研究竞争非局域向列相液晶中热非局域程度和热非线性系数对亮孤子宽度的影响,给出该介质中亮孤子特性,选择亮孤子的传输常数$b = \frac{{{\rm{d}}\theta }}{{{\rm{d}}z}} = 1$[8].此外,由于亮子传输过程中宽度不随传输距离变化,因此选择$\frac{{{{\rm{d}}^2}W}}{{{\rm{d}}{z^2}}} = 0 $.在这两个条件下,式(6)和(11)写为

$ \begin{array}{l} - \frac{1}{{2{W^2}}} + \frac{{{A^2}W}}{{\sqrt {2{W^2} + \sigma _1^2} }} + \frac{{{A^2}{W^3}}}{{2{{\left( {2{W^2} + \sigma _1^2} \right)}^{3/2}}}} - \frac{{3\gamma {A^2}{W^2}}}{{2\sqrt {2\sigma _2^2{W^2} + 2\sigma _1^2{W^2} + 3{W^4} + \sigma _1^2\sigma _2^2} }} - \\ \;\;\;\frac{{\gamma {A^2}{W^4}\left( {\sigma _1^2 + \sigma _2^2 + 3{W^2}} \right)}}{{2{{\left( {2\sigma _2^2{W^2} + 2\sigma _1^2{W^2} + 3{W^4} + \sigma _1^2\sigma _2^2} \right)}^{3/2}}}} = 1 \end{array} $ (14)
$ \frac{1}{{{W^3}}} - \frac{{2{P_0}W}}{{\sqrt {\rm{ \mathsf{ π} }} {{\left( {2{W^2} + \sigma _1^2} \right)}^{3/2}}}} + \frac{{2\gamma P_0^2W\left( {\sigma _1^2 + \sigma _2^2 + 3{W^2}} \right)}}{{{\rm{ \mathsf{ π} }}{{\left( {2\sigma _2^2{W^2} + 2\sigma _1^2{W^2} + 3{W^4} + \sigma _1^2\sigma _2^2} \right)}^{3/2}}}} = 0 $ (15)

通过解式(14)和(15)可以得出亮孤子宽度随参数γσ1σ2的变化关系.由于向列相液晶中分子取向效应对应的非局域程度σ1对亮孤子宽度的影响已经有大量的报道[26-27],此处重点研究参数γσ2对亮孤子宽度的影响.首先,固定参数γ=0.1和σ1=1,热非局域程度σ2取值范围从0.5到5,间隔选为0.1,把不同的热非局域程度σ2带入式(14)和(15),逐一计算出亮孤子的宽度,如图 4所示.可以看出,虽然亮孤子宽度随σ2增加单调递减,但在不同的非局域程度区域递减的趋势不太一致.当热非局域程度相对较小时(小于2时),孤子宽度随σ2增加递减趋势特别明显.随着σ2的增加,孤子宽度随σ2的变化逐渐趋于平缓.从该图还可以看出,当参数γ=0.1不变,参数σ1由1增加到1.5时,亮孤子宽度随σ2的增加单调递减.产生这一现象的原因是,在向列相液晶中热非线性效应具有自散焦效应,而分子取向效应对应自聚焦效应,因此热效应的出现会消弱介质的自聚焦效应.通常,热效应越强材料的自聚焦能力越弱,此时只有宽光束才能在该材料中形成孤子.在其他参数不变的情况下,热非局域程度σ2会消弱热效应,因此σ2越大材料的热效应越小,此时宽度更窄的光束可以稳定地在材料中传输形成亮孤子.

图 4 孤子宽度随σ2变化 Fig.4 Beam width versus σ2

其次,固定参数σ1=1和σ2=4,热非线性系数γ取值范围从0.03到0.4,间隔选为0.01,把不同的热非线性系数γ带入式(14)和(15)逐一计算出亮孤子的宽度,如图 5所示.可以看出,随着热非线性系数的增加孤子宽度单调递增,如图 5中虚线所示.当固定参数σ1=1和σ2=5,改变参数γ时,亮孤子宽度随γ增加仍单调递增,如图 5中实线所示.产生这一现象的原因是,热非线性系数γ越大材料的热效应越大,即材料的自散焦效应越大.此时,只有宽度较宽的光束才能在γ较大的材料中形成孤子(光束越宽衍射效应越弱).有趣的是,从图中可以看出这两条曲线在γ较小时会相交.产生这一现象的原因是,当γ很小时热效应很小(几乎可以忽略),此时热非局域程度σ2的变化不会影响亮孤子的宽度.

图 5 孤子宽度随γ变化 Fig.5 Beam width versus γ

最后,用分步傅里叶算法给出光在具有竞争非局域效应的向列相液晶中的传输图[37].仿真时选择参数σ1=1, σ2=5和γ=0.1,初始输入光束形状为$\psi \left( {x, 0} \right) = \sqrt {{P_0}} /\sqrt[4]{{\rm{ \mathsf{ π} }}}{\rm{exp}}( - {x^2}/2)$,该式表示初始输入光的功率为P0,光束宽度为1.数值仿真中沿横向方向选择512个数据点,窗口宽度为-25到25;纵向方向步长为0.01,传输距离为10.如图 6所示,当功率为4时,入射光在传输过程中出现周期性震荡,在传出10个长度范围内出现2个周期;当功率为8时,入射光在传输过程中出现周期性震荡以呼吸子的形式向前传输.仿真结果完美验证了变分结论.

图 6 P=4和8时光束传输图 Fig.6 Trajectories of beams when P=4 and 8
3 结论

利用变分法解析研究了具有竞争非局域非线性效应的向列相液晶中的亮孤子特性.得到光束振幅、宽度、位相和啁啾系数随传输距离的变化关系.借用牛顿力学中力与加速度以及力与势能的概念,给出势能函数.调整势能函数中入射光的功率,发现入射光功率越大孤子光束宽度越小,反之亦然.解析解和数值解均给出:入射光功率较大时,在传输过程中光束宽度出现周期性震荡,入射功率越大震荡周期越小.该结论和非局域介质中亮孤子的特性相似.本文给出的解析结论与数值解几乎完全符合.进一步的研究发现热效应对应的非局域程度σ2与材料的自散焦效应有关.该参数对亮的特性影响较小,这是因为所选的模型中在热效应前面有一个小量(热非线性系数).

参考文献
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