光子学报  2019, Vol. 48 Issue (10): 1048005  DOI: 10.3788/gzxb20194810.1048005
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引用本文  

王栋栋, 臧峰, 李禄. 基于分数薛定谔方程对高斯光束的操控[J]. 光子学报, 2019, 48(10): 1048005. DOI: 10.3788/gzxb20194810.1048005.
WANG Dong-dong, ZANG Feng, LI Lu. Manipulation of Gaussian Beam Based on Fractional Schrödinger Equation[J]. Acta Photonica Sinica, 2019, 48(10): 1048005. DOI: 10.3788/gzxb20194810.1048005.

基金项目

国家自然科学基金(Nos.61475198,11705108)

第一作者

王栋栋(1995-), 男, 硕士研究生, 主要研究方向为光学传输理论.Email:515908517@qq.com

通讯作者

李禄(1960-), 男, 教授, 博士, 主要研究方向为光学传输理论与非线性动力学.Email:llz@sxu.edu.cn

文章历史

收稿日期:2019-09-09
录用日期:2019-09-23
基于分数薛定谔方程对高斯光束的操控
王栋栋 , 臧峰 , 李禄     
(山西大学 理论物理研究所 太原 030006)
摘要:基于具有谐振势阱的分数薛定谔方程,数值研究了Lévy指数、啁啾参量和势阱深度对啁啾高斯光传输动力学的影响.研究发现,在啁啾参量与势阱深度一定的情况下,随着Lévy指数增大,光束演化周期会减小,偏移中心轴的距离则变大;在Lévy指数与势阱深度一定的情况下,光束演化周期和偏移距离随着啁啾参量增大而增大;无论Lévy指数值与啁啾参量是多少,周期与偏移中心轴的最大距离都和势阱深度成反比.研究结果表明,通过调节Lévy指数、啁啾参量与势阱深度可以有效地控制光传输,为光开关提供了新的设计思路.
关键词分数薛定谔方程    Lévy指数    啁啾高斯光束    谐振势阱    操控    
中图分类号:O411.1      文献标识码:A      
Manipulation of Gaussian Beam Based on Fractional Schrödinger Equation
WANG Dong-dong , ZANG Feng , LI Lu     
(Institute of Theoretical Physics, Shanxi University, Taiyuan 030006, China)
Foundation item: The National Natural Science Foundation of China (Nos. 61475198, 11705108)
Abstract: The influences of Lévy index, chirp parameter and potential depth on the propagation dynamics of chirped Gaussian beam are investigated numerically based on the fractional Schrödinger equation with a harmonic potential. It is found that, for fixed chirp parameter and potential depth, the propagation period decreases and the deviation distance increases with increasing of Lévy index. For fixed Lévy index and potential depth, the propagation period and the deviation distance increase as the chirp parameter increases. The period and the deviation distance are inversely proportional to the potential coefficient regardless of the values of Lévy index and chirp parameter. The results indicate that the beam propagation can be effectively controlled by adjusting Lévy index, chirp parameter and potential depth, which can inspire new ideas in the manufacture of optical switches.
Key words: Fractional Schrödinger equation    Lévy index    Chirped Gaussian beam    Harmonic potential    Manipulation    
OCIS Codes: 070.2575;070.7345;350.5500
0 引言

分数效应在量子霍尔效应[1]、塔伯特效应[2]、约瑟夫森效应[3]与量子振荡器[4]和分数自旋[5]等物理领域得到了广泛的讨论与研究.空间分数薛定谔方程是将Feynman路径积分中的Brownian轨迹用Lévy飞行来代替而得到的[5-7],这样原来的拉普拉斯算符就变为分数拉普拉斯算符,它是标准薛定谔方程的推广与延续.当Lévy指数等于2时,分数薛定谔方程就转换为标准薛定谔方程.早期对分数薛定谔方程的研究主要集中在数学方面,讨论不同势阱中分数薛定谔方程的本征值问题[8-10]以及由分数拉普拉斯算符所引起的非局域性等问题[11-13].

2015年,LONGHI S提出了在光学上实现分数薛定谔方程的理论模型[14],为研究光在分数薛定谔方程支配下的传输动力学提供了一个平台.之后,研究者开展了有关光束在分数薛定谔方程中的传输动力学的研究.其中,高斯光束在分数薛定谔方程中传输动力学的研究[15, 16]结果显示,啁啾高斯光束在无势阱的情况下会出现无衍射的分裂现象,而在谐振势阱情况下呈现锯齿形状的传输轨迹.光在具有宇称-时间(Parity-Time, PT)对称势的分数薛定谔方程中的动力学研究结果表明,二维情况下会出现锥形衍射[17].超高斯光束在非线性分数薛定谔方程中演化行为的研究结果发现,演化行为最终会形成稳定的呼吸孤子和孤子对[18].文献[19-21]报道了具有线性势与双势垒的分数薛定谔方程.文献[22]发现了分数薛定谔方程中的光学Bloch振荡和光学Zener隧道效应.考虑变系数分数薛定谔方程,文献[23]中的研究结果显示无啁啾高斯光束呈现出周期性分裂行为;啁啾高斯光束呈现出周期性振荡的行为.在数学上,研究人员更加关心非线性分数薛定谔方程中孤波解[24-26]及数值方法[27, 28].在物理上,非线性分数薛定谔方程中调制不稳定性[29]、PT对称势中的孤子[30, 31]与其它形式的孤子[32-34]、Anderson非局域现象[35]以及Airy光束的相互作用[36]也被相继报道.然而,有关分数薛定谔方程中Lévy指数、啁啾参量和势阱深度对光传输动力学的影响还鲜见报道.

本文针对具有谐振势阱的分数薛定谔方程,分析Lévy指数、啁啾参量和势阱深度对光传输动力学的影响.对系统输入啁啾高斯光束后,通过调节Lévy指数、啁啾参量和势阱深度,改变光束的演化周期、偏移距离、光束宽度以及振幅等传输性质,进而实现对光束的操控.

1 理论模型

光束在具有势阱的介质中沿着z轴传输,其动力学过程可以由分数薛定谔方程来描述[15],即

$ {\rm{i}}\frac{{\partial \psi \left( {x, z} \right)}}{{\partial z}} = \left[ {\frac{1}{2}{{\left( { - \frac{{{\partial ^2}}}{{\partial {x^2}}}} \right)}^{\frac{\alpha }{2}}} + V\left( x \right)} \right]\psi \left( {x, z} \right) $ (1)

式中,xz分别是横坐标与传输距离,ψ(x, z)为光传输的波函数,α(1<α≤2)是Lévy指数,V(x)=β2x2/2是谐振势阱,β是控制势阱深度的参数.假设初始输入是带有啁啾的高斯光束,即

$ \psi \left( {x, 0} \right) = {{\rm{e}}^{ - \sigma {{\left( {x - {x_1}} \right)}2}}}{{\rm{e}}^{ - {\rm{i}}C(x - {x_1})}} $ (2)

式中,x1为初始波包的位置,C为啁啾参量,σ控制着初始光束的宽度.根据文献[15]报道,在α=1的极限情况下,光束轨迹为x=$ \mp $z/2+x1, 其中负号与正号$ \mp $分别对应于C>0和C<0的情况.在α=2的极限情况下,根据文献[37]所报道的方法,可以得到初始状态式(2)的动力学解为

$ \left| {\psi \left( {x, z} \right)} \right| = \left| {\sqrt {\frac{\beta }{{\beta {\rm{cos}}\left( {\beta z} \right) + {\rm{i}}2\sigma {\rm{sin}}\left( {\beta z} \right)}}} } \right| \times {\rm{exp}}\left\{ { - \frac{{{{\left[ {x + \frac{C}{\beta }{\rm{sin}}\left( {\beta z} \right) - {x_0}\cos\left( {\beta z} \right)} \right]}^2}}}{{\left[ {{\beta ^2}{\rm{co}}{{\rm{s}}^2}\left( {\beta z} \right) + 4{\sigma ^2}{\rm{si}}{{\rm{n}}^2}\left( {\beta z} \right)} \right]/\left( {{\beta ^2}\sigma } \right)}}} \right\} $ (3)

从式(3)可以得到光束的运动轨迹为

$x = - C{\rm{sin}}\left( {\beta z} \right)/\beta + {x_1}{\rm{cos}}(\beta z) $ (4)

从轨迹方程式(4),可以看出光束呈现出正弦振荡行为.在传输过程中,光束的质心轨迹以及光束宽度分别表示为

$ {x_{\rm{c}}} = \int_{ - \infty }^\infty {x{{\left| \psi \right|}^2}{\rm{d}}x} /\int_{ - \infty }^\infty {{{\left| \psi \right|}^2}{\rm{d}}x} $ (5)
$W = \sqrt {2\int_{ - \infty }^\infty {\left( {x - {x_c}} \right){{\left| \psi \right|}^2}{\rm{d}}x} /\int_{ - \infty }^\infty {{{\left| \psi \right|}^2}{\rm{d}}x} } $ (6)

本文采用分步傅里叶变换方法研究Lévy指数、啁啾参量和势阱深度对啁啾高斯光传输动力学的影响.

2 数值结果 2.1 Lévy指数对光传输动力学的影响

首先研究在不同Lévy指数的情况下高斯光束的传输动力学.图 1(a)~(c)分别展示了不同Lévy指数情况下高斯光束的传输动力学,可以看到高斯光束呈现出周期性的演化图样.相应的质心轨迹、光束宽度以及振幅如图 1(d)~(f)所示.其中σ=0.5,x1=0,C=25,β=1.

图 1 啁啾高斯光在不同Lévy指数情况下的演化行为 Fig.1 The evolution of the chirped Gaussian beam under different Lévy index

α=1的极限情况下,啁啾高斯光束在具有谐振势阱的分数薛定谔方程模型中沿着锯齿形轨迹传输,如图 1(a)所示.而在α=2的标准模型中呈正弦函数形传输,如图 1(c)所示,从图中可以明显地观察到光传输在转折点处会相对光滑一些.对于α=1.5的过渡情况,光束的传输轨迹则是介于折线形与波浪形之间,如图 1(b)所示.|xc|max表示光束偏离中轴的最大距离,而L表示光束经历一个演化周期的传输距离.

图 1(d)中的实线给出的是在极限情况下α=2光束传输质心轨迹的数值结果,其结果与式(4)所预言的解析结果完全重合,说明本文采用的数值方法是合理的.而且,随着α的增大,光束传输的周期明显减小,而偏移中心轴的距离显著增大.图 1(e)(f)讨论了在不同的系统模型中光束宽度与振幅的演化情况.在分数模型中,由于谐振势阱的作用,在转折点处,振幅突然增大,光束宽度突然减小,而且由于衍射效应,振幅会随传输距离增大而微弱地减小,光束宽度也相应地加宽.然而,在α=2的标准模型中,上述性质将发生很大的变化.由于光束质心轨迹按照正弦函数的形式演化,并且在传输过程中始终保持原来的性质不发生变化,因此光束宽度与振幅均不会发生变化.

接着研究Lévy指数对光传输动力学的影响.图 2展示了α从1增大到2的过程中,相应的偏移最大距离|xc|max与演化周期Lα的依赖关系,其它参数与图 1相同.可以发现:当Lévy指数增大时偏移距离不断增大,而演化周期逐渐减小.

图 2 最大偏移距离和演化周期对Lévy指数α的依赖关系 Fig.2 The beam deviation distance and the evolution period versus the Lêvy indexα
2.2 啁啾参量和势阱深度对光传输动力学的影响

图 3展示了在不同的啁啾参量C与势阱深度β下光传输的强度分布,其中α=1.5,σ=0.5,x1=0.比较图 3(a)(c)(e)或者(b)(d)(f),可以发现光束偏移距离和周期都随着势阱深度的增大而减小.横向比较,如图 3(a)(b),可以看出当啁啾参量增大时,偏移距离和周期都会随之增大.

图 3 啁啾高斯光在不同啁啾参量与势阱深度情况下的演化 Fig.3 The evolutions of the chirped Gaussian for different chirp parameter and potential depth

为了更直观地讨论啁啾参量和势阱深度对光传输动力学的影响,图 4展示了不同Lévy指数下偏移距离和传输周期分别对啁啾参量和势阱深度的依赖关系,其中σ=0.5,x1=0.从图 4(a)(b)中可以看出,偏移距离和周期随啁啾参量的增加而增加,并且Lévy指数越大,偏移距离增加的趋势就越快,而周期增加的趋势则越慢,特别是Lévy指数为2时,演化周期不再依赖于啁啾参量,是一个常数.通过大量的数值模拟结果可以发现:不论αC的值为多少,光束偏移距离和周期均与势阱参数的绝对值|β|成反比,如图 4(c)(d)所示.

图 4 在不同Lévy指数下最大偏移距离和演化周期对啁啾参量以及势阱深度的依赖关系 Fig.4 The deviation distance and the evolution period versus the chirp parameter and the potential depth under different Lévy index
3 结论

本文采用数值方法研究了具有谐振势阱的分数薛定谔方程中Lévy指数、啁啾参量和势阱深度对啁啾高斯光传输动力学的影响.通过研究发现,在啁啾参量与势阱深度一定的情况下,随着Lévy指数的增大,光束演化周期会减小,偏移中心轴的距离则变大.此外,光束在转折点处变窄,振幅增大,而且由于衍射效应,光束在传输至较远处时,光束变宽,振幅有一定的衰减.特别的是,当α=2时,光束呈现较为光滑的正弦函数形的演化,而且光束在传输过程中保持其初始的分布状态,宽度与振幅均不会发生变化.在Lévy指数与势阱深度一定的情况下,光束演化周期和偏移距离随着啁啾参量增大而增大,并且Lévy指数越大,偏移距离增加趋势越大,而演化周期增加趋势越小,特别的是,当α=2时,演化周期变为常数而不再依赖于啁啾参量.无论Lévy指数值与啁啾参量是多少,周期与偏移中心轴的最大距离都和势阱深度的绝对值成反比.研究表明,通过调节Lévy指数、啁啾参量与势阱深度可以实现对高斯光束的控制.研究结果不仅进一步加深了对分数薛定谔方程的理解,而且在光学开关等方面有一定的应用前景.

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