光子学报  2019, Vol. 48 Issue (10): 1048006  DOI: 10.3788/gzxb20194810.1048006
0

引用本文  

方乒乒, 金新伟, 林机. 非局域非线性耦合器中多极亮孤子的特性[J]. 光子学报, 2019, 48(10): 1048006. DOI: 10.3788/gzxb20194810.1048006.
FANG Ping-ping, JIN Xin-wei, LIN Ji. Properties of Multipolar Bright Solitons in Non-local Nonlinear Coupling Medium[J]. Acta Photonica Sinica, 2019, 48(10): 1048006. DOI: 10.3788/gzxb20194810.1048006.

基金项目

国家自然科学基金(No.11675146)

第一作者

方乒乒(1996-), 女, 硕士研究生, 主要研究方向为非线性光孤子.Email:fpp835475604@163.com

通讯作者

林机(1965-), 女, 教授, 博士, 主要研究方向为非线性光孤子.Email:linji@zjnu.edu.cn

文章历史

收稿日期:2019-09-16
录用日期:2019-10-10
非局域非线性耦合器中多极亮孤子的特性
方乒乒 , 金新伟 , 林机     
(浙江师范大学 物理系, 浙江 金华 321004)
摘要:研究了一维非局域非线性耦合器中多极亮孤子的存在条件和稳定传输.用牛顿迭代法得到了二极和三极亮孤子.由于较强的非局域响应诱导孤子间的吸引作用比排斥作用大,此时二极孤子不能稳定传输,两孤子相互吸引,融合成一个孤子.随着非局域参数的减小,非线性效应和衍射效应达到平衡时,二极孤子能稳定传播.随着传播常数的减小,孤子的幅值减小,束宽变窄,使得孤子能稳定传播.对于三极亮孤子,在非局域参数较小的时候,耦合的两个三极孤子都不能进行稳定传输.传输一段距离后三极孤子发生碰撞,融合成两极孤子,两极孤子继续传输,最终融合成为一束振荡的光束.随着非局域参数的增大,三极孤子传播的稳定性增强.当传播常数取负数时,随着其绝对值的减小,三极亮孤子的幅值增大,束宽减小,孤子传播的稳定性增强.最后,通过加入白噪声进一步验证了这些亮孤子传播稳定性.
关键词非线性    多极亮孤子    传输特性    稳定性    非局域非线性耦合器    
中图分类号:O437      文献标识码:A      
Properties of Multipolar Bright Solitons in Non-local Nonlinear Coupling Medium
FANG Ping-ping , JIN Xin-wei , LIN Ji     
(Department of Physics, Zhejiang Normal University, Jinhua, Zhejiang 321004, China)
Foundation item: The National Natural Science Foundation of China (No.11675146)
Abstract: The existence conditions and stable propagation of multipole bright solitons in the one dimensional nonlocal nonlinear couple are reported. By means of Newton iterative method, the dipolar and tripolar bright solitons are obtained. Because the attraction of solitons is larger than their repellant due to the strong nonlocal response, the propagation of the dipolar soliton is unstable, and two solitons attract each other and then merge into one soliton. With the decrease of the nonlocal parameters, the propagations of the dipolar solitons are stable when the balance of the nonlinear effect and diffraction effect is achieving. On the other hand, with the decrease of the propagation constant, the amplitude of solitons increases and the beamwidth is changed to be narrow, the propagation of solitons is stable. For tripolar bright solitons, the coupled tripole solitons can not propagate steadily when the nonlocal parameters are small. After a distance of propagation, the tripole solitons collide and merge into dipolar solitons, finally the dipolar solitons merge into an oscillatory beam. With the nonlocal parameters increasing, the propagation of the tripolar bright solitons come to be more stable. Taking the propagation constant negative and decreasing its absolute value, the amplitudes of solitons increase, the beamwidths decrease, and the propagation stability of the tripole solitons is increasing. Finally, the propagation stability of these bright solitons is further verified by adding white noise.
Key words: Nonlinear    Multipolar bright soliton    Propagation characteristics    Stability    Nonlocal nonlinear coupler    
OCIS Codes: 190.0190;190.4223;190.3270;060.4370
0 引言

1973年,日本科学家长谷川等从理论上阐明了光孤子存在于光纤中的可能性[1-2].1980年,MOLLENAUER L F从实验中观测到了稳定传输的光孤子,证实了长谷川的理论预言[3].由于空间光孤子结构丰富,空间非局域非线性介质中光孤子的存在和传播特性引起了研究者的广泛关注.真正导致世界范围内对非局域非线性薛定谔方程的单光孤子解研究产生热潮的是1997年SNYDER A W发表在Science上的一篇文章,他们在这篇文章中建立了强非局域空间光孤子的线性模型[4].后来,YOSHIMASA M对一类描述包络波长期演化的非局域非线性薛定谔方程的多个暗光孤子解进行线性稳定性分析,对连续谱和离散谱给出了与逆散射变换相关的非局域非线性方程线性本征值问题的解,并证明了平方特征函数的完备关系[5].张霞萍等对强非局域非线性介质中空间对称响应函数的泰勒展开进行研究,化简非局域非线性薛定谔方程,得到1+D(D=1, 2)维的厄米高斯型解以及高阶孤子的解析式[6].周罗红等在运用牛顿迭代法研究非局域非线性介质中的空间暗孤子时,发现在任何非局域程度以及任何传播常数条件下都存在暗孤子的数值解,且暗孤子的束宽与非局域程度存在一定的关系[7].除单孤子之外,非局域非线性波导中还存在多种解的形式,贾剑等用解析法求解具有指数响应函数的非局域非线性克尔介质中的孤子,得到亮孤子解、偶极孤子解和周期解[8].由于非局域非线性波导中多极孤子的解析解较难得到,郑一帆等在研究一维非局域三-五次非线性模型时,用数值法得到了一极暗孤子和多极暗孤子解,并讨论了在局域自聚焦三次和非局域自散焦五次非线性介质中暗孤子和两极暗孤子解的特性[9].在原子相干系统中也发现偶极孤子的存在,张彦鹏等实验获得了三能级级联原子系统中产生的四波混频光束的可控偶极子模孤子[10]和2+1维三次-五次非线性耦合原子体系中偶极孤子以及涡旋孤子[11].近几年对于耦合非线性光学系统展开了很多的理论和实验研究,实际上,光束耦合需要利用光学耦合器来实现,光学耦合器能使光波的本征模场实现能量的转移和重新分配[12-13].早期,光学耦合器的结构不太完善,主要起监控作用.MAIER L A和JENSEN S M对光学耦合器非线性效应的研究做出了重要的贡献[14-15],他们提出的新型光学耦合器具有了非线性效应特征,通过对非线性耦合器中光束传输的研究,为非线性耦合器的拓展应用提供依据[16].MAIA A M利用变分方法证明了弱耦合非线性薛定谔方程组非平凡解的存在性,得到一个在最小作用下所有向量的分量都不是零的正解[17].此后,杨振军等还得到了两极孤子的参数耦合方程和高斯孤子解形式[18].党亚琳等用经典李群约化方法对非局域非线性耦合器中孤子解进行研究,得到亮孤子、周期孤子和偶极孤子形式[19].近几年对于非局域非线性光学耦合器的研究较多,但目前关于多极孤子解的报道较少,本文通过数值方法研究非局域非线性耦合器中的多极亮孤子解,了解此光学器件中多极亮孤子的存在条件和传输情况,为实验室实现多极亮孤子提供理论依据.

1 非局域非线性耦合器中孤子的物理模型

由于存在耦合相互作用,双光束在非局域非线性耦合器中的传输可以用非局域非线性耦合薛定谔方程来描述,即[20]

$ \left\{ \begin{array}{l} {\rm{i}}{U_z} + \frac{1}{2}{U_{xx}} + mU + {a_1}V = 0\\ {\rm{i}}{V_z} + \frac{1}{2}{V_{xx}} + nV + {a_2}U = 0\\ m{\rm{ - }}d{m_{xx}}{\rm{ - }}{b_1}{\left| U \right|^2} = 0\\ n{\rm{ - }}d{n_{xx}}{\rm{ - }}{b_2}{\left| V \right|^2} = 0 \end{array} \right. $ (1)

式中,UV分别表示波导介质中两个光场的复振幅,xz分别表示光束宽度的横向坐标和光束传播的纵坐标,下标z表示对时间的求导,下标xx表示对x的两次导数;参数d表示非线性响应的非局部性程度,d为0时表示局域,d趋于无穷大时为强非局域;a1a2为耦合常数,表示在耦合时两束孤子起作用的程度;b1b2为非线性参数[19].mn分别表示光在两光纤中的诱导折射率,会随空间和时间的变化而变化,其表达式为

$ \left\{ \begin{array}{l} m\left( {x, z} \right) = s\int_{{\rm{ - }}\infty }^\infty {R\left( {x{\rm{ - }}x' } \right)} {\left| {U\left( {x' , z} \right)} \right|^2}{\rm{d}}x' \\ n\left( {x, z} \right) = s\int_{{\rm{ - }}\infty }^\infty {R\left( {x - x' } \right)} {\left| {V\left( {x' , z} \right)} \right|^2}{\rm{d}}x' \end{array} \right. $ (2)

式中,$ R\left( {x - x' } \right){\rm{ = }}\frac{1}{2}{d^{1/2}}{\rm{exp}}\left( { - \left| x \right|/d} \right)$,表示材料对空间的响应函数为指数函数,参数s描述了非线性的特征,其正负值分别表示相应的自聚焦和自散焦[21].响应函数一般都是实对称函数,并且能够进行归一化[22-23].

非局域非线性耦合薛定谔方程组式(1)是复杂的不可积方程,其解析解极难获得,利用数值方法来研究式(1)多极孤子解及稳定性是有效的途径之一.设式(1)中解形式为U(x, z)=w1(x)exp (ibz),V(x, z)=w2(x)exp(ibz),其中wi(x)为一个实函数,b为孤子的传播常数,可以将式(1)简化为[24]

$ \left\{ \begin{array}{l} {\rm{ - }}b{w_1} + \frac{1}{2}{w_{1xx}} + m{w_1} + {a_1}{w_2} = 0\\ {\rm{ - }}b{w_2} + \frac{1}{2}{w_{2xx}} + n{w_2} + {a_2}{w_1} = 0\\ m{\rm{ - }}d{m_{xx}}{\rm{ - }}{b_1}w_1^2 = 0\\ n{\rm{ - }}d{n_{xx}}{\rm{ - }}{b_2}w_2^2 = 0 \end{array} \right. $ (3)

满足方程的孤子解保持功率守恒,定义整个系统的功率P

$ P = {P_u} + {P_v} = \int {({{\left| U \right|}^2} + {{\left| V \right|}^2}){\rm{d}}x} $ (4)

式中,Pu表示光场振幅为U的孤子u的功率,Pv表示光场振幅为V的孤子v的功率.

2 非局域非线性耦合器中的多极孤子解 2.1 二极孤子解

通过牛顿迭代法和尝试法获得式(3)中的二极孤子解.取耦合常数a1a2为正数,选取适当的试探解,可得到二极亮孤子.在传播常数保持不变的情况下,研究不同非局域参数对孤子解的影响.假定光传播常数为b=0.4,耦合常数a1=1, 5,a2=2, 非线性参数b1=1.5, b2=2,当非局域参数改变时,得到了稳定和不稳定的二极孤子,如图 1所示.图 1(a)uvu′和v′分别表示二极孤子uvd=2、d=1.1时的孤子波形.图 1(b)mnm′和n′分别表示在d=2、d=1.1时的两光纤中的诱导折射率.从图 1可知,在减小非局域参数的过程中,孤子的幅值会减小,相应的诱导折射率峰值都会随之增大,孤子的束宽和诱导折射率的宽度逐渐变窄.这是由于非线性效应使得介质折射率变化较大,从而导致光束变窄.同时,二极孤子的间距减小,孤子会出现尾部.

图 1 不同非局域参数下的二极亮孤子的光场波形和诱导折射率 Fig.1 Field waveform and induced refractive index of two-pole bright solitons with different nonlocal parameters

为了研究多极孤子在非局域非线性耦合器中的稳定性,将式(2)的初始输入加上10%的白噪声.图 2(a)(b)表示在d=0.7时微扰作用下二极孤子u1v1的演化.图 2(c)(d)表示在d=1.1时微扰作用下二极孤子u1v1的演化.从图 2可以看出,当非局域参数较大时,孤子在10%的白噪声的影响下不能稳定传播,较强的非局域响应诱导孤子间的吸引作用比排斥作用大,此时两孤子相互吸引,融合在一起变成一个孤子.随着非局域参数d逐渐减小,孤子在介质中传播的距离变长,当非局域参数d=0.7时,非线性效应和衍射效应完全平衡,孤子在10%的白噪声的扰动下仍然可以稳定传播.

图 2 不同非局域参数下二极孤子传输特性 Fig.2 Propagation characteristics of the two-pole bright solitons with different nonlocal parameters

研究了耦合二极孤子的功率与传播常数的关系,如图 3所示.图 3(a)d=2,b2=2,a1=1.5,a2=2,曲线P1P2P3分别表示b1=1.5、b1=2、b1=2.5时的功率与传播常数的关系.图 3(b)d=2,b1=1.5,a1=1.5,a2=2,曲线P1P2P3分别表示b2=2、b2=2.5、b2=3时的功率关系.从图 3(a)可知,在b2=2时二极孤子功率随传播常数b的增大而增大.取不同b1值时,b1越大孤子功率增长的斜率越小.当b相同时,b1越大则孤子的功率越小.同理,当b1=1.5,b2取不同的值时,二极孤子功率随传播常数b的增大而增大,b2越大孤子功率较小,且增长的斜率也较小.

图 3 二极亮孤子的功率 Fig.3 Power of two-pole bright solitons

针对非局域参数不变的情况,研究传播常数对孤子的影响.假定介质的非局域参数为d=0.8,耦合常数a1=1.5,a2=2,非线性参数b1=1.5,b2=1.5,当传播常数改变时得到孤子解的变化如图 4所示.图 4(a)u1v1u2v2, u3v3u4v4分别表示在b=0.4、b=0.6、b=0.8和b=1.2时的耦合二极孤子波形.图 4(b)m1n1m2n2, m3n3m4n4分别表示在b=0.4、b=0.6、b=0.8和b=1.2时的诱导折射率.从图 4(a)可以看出,随着参数b减小,二极孤子间距先逐渐增大,而后随着b的减小而减小.孤子的幅值持续减小,束宽变窄.从图 4(b)可知,相应的诱导折射率峰值变大,折射率的宽度持续变宽.图 5(a)(b)表示在b=0.4时微扰作用下二极孤子u1v1的演化.图 5(c)(d)表示在b=0.6时微扰作用下二极孤子u1v1的演化.从图 5可知,当b减小时,孤子的稳定性迅速增强,当b=0.6时孤子在微扰的作用下传输的距离很短,而当b=0.4时就能实现稳定传输.

图 4 不同传播参数下二极亮孤子的光场波形和诱导折射率 Fig.4 Field waveform and induced refractive index of two-pole bright solitons with different propagation constant
图 5 不同传播参数下二极孤子传输特性 Fig.5 Propagation characteristics of the two-pole bright solitons with different propagation constant
2.2 三极孤子解

对于非局域非线性耦合器中的三极孤子,分析了在不同非局域参数和传播常数下孤子解的传播情况.在传播常数不变的情况下,改变非局域参数,研究三极孤子的变化.先设定传播常数b=-1,耦合常数a1=1.5,a2=2,非线性参数b1=1.5,b2=1.5,可以得到三极孤子解和传输性质如图 67所示.

图 6 不同非局域参数下的三极亮孤子的光场波形和诱导折射率 Fig.6 Field waveform and induced refractive index of tri-pole bright solitons with different nonlocal parameters
图 7 不同非局域参数下三极孤子传输特性 Fig.7 Propagation characteristics of the tri-pole bright solitons with different nonlocal parameters

图 6(a)uvu′和v′表示在d=4、d=12时的孤子波形.图 6(b)mnm′和n′分别表示在d=4、d=12时的诱导折射率.从图 6(a)可以看出,三极孤子u的幅值要比v的幅值小.在d值逐渐增大时,三极孤子的束宽缓慢地展宽,同时孤子的幅值逐渐增大,并且两侧的孤子幅值增加的程度比中间的孤子更加明显.从图 6(b)可得,当d值增大时,孤子的折射率波峰缓慢变小,非局域参数的增大使折射率变化趋于平缓.由于在两个耦合的三极孤子中,孤子的幅值并不相同,此时的传输状态也不同.图 7(a)(b)表示在d=12时微扰作用下三极孤子u1v1的演化.图 7(c)(d)表示在d=4时微扰作用下三极孤子u1v1的演化.从图 7可以看出,在d值较小的时候,耦合的两个三极孤子都不能进行稳定传输.在传输一段距离后三极孤子发生碰撞,融合成两极孤子,同时还伴随着振荡的现象.两极孤子继续传输,再次相互吸引碰撞,最终融合成为一束振荡的光束.随着d的增加,vu更快达到稳定传输的状态.当d增加到两个孤子都能稳定传输临界值时,继续增加d值,孤子的稳定性增强.

在非局域参数不变的情况下,改变传播常数,研究三极孤子的变化.先设定非局域参数d=11.5,耦合常数a1=1.5,a2=2,非线性参数b1=1.5,b2=1.5,可以得到三极孤子解和传输性质如图 89所示.图 8(a)uvu′和v′表示在b=-1、b=-0.6时的孤子波形.图 8(b)mnm′和n′分别表示在b=-1、b=-0.6时的诱导折射率.从图 8(a)可以看出,在非局域参数保持不变的情况下,改变传播常数的大小时,孤子的宽度随传播常数的增大而减小,孤子的幅值逐渐增大.图 8(b)表述了两孤子的诱导折射率峰值随着b的增大而增大.在改变传播常数的过程中发现,一旦传播常数为负值且绝对值较大时,三极孤子存在尾部.当传播常数小于确定的负值时,孤子解就不再存在.当介质的孤子传播常数位于某一区间内时,才存在孤子解.图 9(a)(b)表示b=-0.6时微扰作用下三极孤子u1v1的演化.图 9(c)(d)表示b=-1时微扰作用下三极孤子u1v1的演化.从图 9可以看出,在b值取负数时,b的绝对值越小,孤子在介质中稳定传播的距离就越远.

图 8 三极亮孤子的光场波形和诱导折射率 Fig.8 Field waveform and induced refractive index of tri-pole bright solitons with different propagation constant
图 9 不同传播参数下三极孤子传输特性 Fig.9 Propagation characteristics of the tri-pole bright solitons with different propagation constant
3 结论

本文研究了在非局域非线性耦合器中孤子的存在性、稳定性和传播的性质.对二极孤子解的研究发现,随着非局域参数d的减小,二极孤子间距会减小,同时孤子的幅值减小,相应的诱导折射率峰值增大,孤子的束宽和折射率的宽度变窄.d值减小,孤子的稳定性增强.在逐渐减小传播常数b时,二极孤子间距先增大再减小,孤子的幅值持续减小,孤子的束宽变窄,相应的诱导折射率峰值减小,宽度持续变窄.当传播常数b较大时,孤子不能稳定传播,减小b,孤子的稳定性迅速增强,能实现稳定传输.随后研究了非局域非线性介质中的三极孤子解,保持传播常数b不变,当非局域参数增大时,孤子幅值增大并展宽.此时,三极孤子在介质中传播的稳定性随着d的增大而增强.在d保持不变的情况下,改变传播常数b,孤子的幅值随着b的增大而增大,同时孤子束宽随着b的增大而减小.同样地,在传播常数b为负数时,b的绝对值越小孤子在介质中稳定传播的距离越远.在实际的物理体系中,介质中光场的作用往往是非局域的,研究其在非线性非局域介质中的解和解的传播形式可以使人们更好地认识这种介质,同时能更好地控制光在此类介质中的传输.

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