光子学报  2019, Vol. 48 Issue (2): 0219001  DOI: 10.3788/gzxb20194802.0219001
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引用本文  

万峰, 武保剑, 曹亚敏, 等. 四波混频泵浦消耗过程的相位匹配条件研究[J]. 光子学报, 2019, 48(2): 0219001. DOI: 10.3788/gzxb20194802.0219001.
WAN Feng, WU Bao-jian, CAO Ya-min, et al. Study on Phase Matching Condition at Pump Depletion in Four-wave Mixing[J]. Acta Photonica Sinica, 2019, 48(2): 0219001. DOI: 10.3788/gzxb20194802.0219001.

基金项目

国家自然科学基金(Nos.61671108,61505021)

第一作者

万峰(1989-), 男, 博士研究生, 主要研究方向为光纤通信技术.Email:wanfengalex@foxmail.com

通讯作者

武保剑(1970-), 男, 教授, 博士, 主要研究方向为光纤通信技术.Email:bjwu@uestc.edu.cn

文章历史

收稿日期:2018-08-11
录用日期:2018-11-20
四波混频泵浦消耗过程的相位匹配条件研究
万峰 , 武保剑 , 曹亚敏 , 邢焕兴 , 邱昆     
(电子科技大学 信息与通信工程学院 光纤传感与通信教育部重点实验室, 成都 611731)
摘要:采用解析方法分析讨论泵浦消耗情形下的准相位匹配范围以及相位匹配条件的变化,并给出相位匹配条件的表达式.比较分析小信号近似和泵浦消耗两种情形下四波混频增益演化过程.研究表明,在泵浦消耗情形下,随转移功率的增大,满足总相位匹配的线性失配因子从负值逐渐趋于0,准相位匹配范围也越来越小;确定四波混频的准相位匹配范围,可简化波分复用或空分复用系统中级联四波混频的分析过程;小信号近似模型只适合于转移功率远小于泵浦功率的情形,满足总相位匹配的线性失配因子不依赖于光纤长度.
关键词四波混频    泵浦消耗    相位匹配    转移功率    
中图分类号:O437;TN2      文献标识码:A      
Study on Phase Matching Condition at Pump Depletion in Four-wave Mixing
WAN Feng , WU Bao-jian , CAO Ya-min , XING Huan-xing , QIU Kun     
(Key Laboratory of Optical Fiber Sensing & Communication, Ministry of Education, School of Communication and Information Engineering, University of Electronic Science and Technology of China, Chengdu 611731, China)
Foundation item: The National Nature Science Foundation of China (Nos. 61671108, 61505021)
Abstract: The analytic method is used to analyze the range of quasi-phase matching and the evolution of the phase matching in the case of pump depletion, and the expression for the phase matching is given. The evolution process of four-wave mixing gain under pump depletion is compared to the case in small-signal approximation. In the case of pump depletion, with the increase of the transfer power, the linear mismatch factor corresponding to the total phase matching gradually tends to 0 and the quasi-phase matching range also becomes narrower. By determining the quasi-phase matching rang, the cascaded four-wave mixing process in wavelength division multiplex or space division multiplexing systems can be simplified for analysis. The small signal approximation model is only suitable for the case that the transfer power is far less than the pump power, and the linear mismatch factor at the total phase matching is not dependent on the length of the fiber.
Key words: Four-wave-mixing    Pump depletion    Phase matching    Transfer power    
OCIS Codes: 190.4370;060.2310;190.4380;190.4970
0 引言

四波混频(Four-Wave Mixing, FWM)过程起源于导光介质的三阶非线性极化[1-3].当两束或三束光输入到非线性光纤时,在一定条件下可发生四波混频效应,产生新频率成分的光波,称为闲频光[4-5].作为一种光克尔效应,四波混频具有飞秒级的响应时间、全光超快信息处理的能力[6],在参量放大[7]、全光相位运算器[8-9]、全光再生[10-11]和波长转换等[12]全光信号处理领域中潜力巨大.另一方面,在密集波分复用系统中,由于较高的输入总功率和波长信道的等栅格特点[13],四波混频产物会对信道造成严重串扰,限制了通信容量的进一步提高[14],因此长距离光传输中需要有效抑制四波混频[15-16].

产生高效的四波混频过程需满足相位匹配条件,即当输入光纤各导波光的波矢失配几乎为零时,四波混频才能达到最大的转换效率.用解析方法分析光纤四波混频过程时,通常采用小信号近似模型,认为泵浦光功率没有消耗[17],这大大限制了其适用范围.而实际中遇到的许多四波混频过程存在泵浦消耗[18],其相位匹配条件与小信号近似情形必然有所不同.光脉冲的四波混频泵浦消耗演化过程中各参量的变化十分复杂,往往需要采用分步傅里叶数值计算方法进行求解[19].研究表明,在准连续波条件下,四波混频泵浦消耗演化过程也可以用椭圆函数sn(u, k)=sin φ和第一类椭圆积分F(φ, k)=u精确地解析表达[20],计算效率大大提高,但还是难以直观地获取功率或相位转移特性随光纤长度、相位失配等参量的变化关系.

本文分析泵浦消耗情形下准连续波之间的非相敏放大(Phase-Insensitive Amplifier, PIA)FWM耦合过程,推导出峰值转移功率随线性相位失配因子变化的解析式,更直观地给出转移功率随光纤长度、相位失配等参量变化的解析表达式,并分析给出了泵浦消耗下的相位匹配条件.最后,对小信号理论模型与泵浦消耗情形的计算结果进行比较,指出小信号理论模型的局限性.

1 泵浦消耗PIA-FWM耦合模方程及其解析解

光纤中多个光波之间的非线性相互作用可以通过耦合模方程表示,将自相位调制(Self-Phase Modulation, SPM)和交叉相位调制(Cross-Phase Modulation, XPM)视为FWM的特殊情形,则准连续导波光场复包络Aj(j=m, n, k, l)满足的FWM耦合模方程可以统一表示为[8]

$ \frac{{\partial {A_l}}}{{\partial z}} = {\rm{i}}\sum\limits_{m,n,k,l} {\frac{{{D_{mn}}}}{{{D_{\rm{p}}}}}{\gamma _{mnkl}}{A_m}{A_n}A_k^ * \exp \left[ {{\rm{i}}\left( {\Delta {\beta _{mnkl}}z - \Delta {\omega _{mnkl}}t} \right)} \right]} $ (1)

式中,z表示非线性光纤的长度,Δβmnkl=βm+βnβkβl为线性相位失配因子,导波光之间满足能量守恒关系Δωmnkl=ωm+ωnωkωl=0;Dmn为光波简并因子,当m=nDmn=1,否则Dmn=2;Dp为偏振相关因子,相同偏振作用时Dp=1,正交偏振时Dp=3[1];非线性系数γmnkl=n2ωlfmnkl/c,其中n2为非线性折射率,${f_{mnkl}} = \iint {{F_m}{F_n}F_k^*F_l^*} {\rm{d}}x{\rm{d}}y$为光纤中导波光之间的归一化模场交叠积分,c为真空中光速.

将光场复包络表示为${A_j} = \sqrt {{P_j}} \exp \left( {{\rm{i}}{\theta _j}} \right)$形式,其中Pjθj分别表示相应导波光的功率和相位,它们的初始值用Pj0θj0表示.对于线偏振光之间的非简并FWM过程,设光波之间的转移功率为x,即Pm=Pm0xPn=Pn0xPk=Pk0+xPl=Pl0+x,由式(1)可得转移功率x相对于z的微分方程为

$ \frac{{{\rm{d}}x}}{{{\rm{d}}z}} = 4\gamma \sqrt {{P_m}{P_n}{P_k}{P_l}} \sin \theta = 2s\gamma \sqrt {h\left( x \right)} $ (2)

式中,θβz+θ0θ0=θm+θnθkθls表示sin θ的正负符号,在xz单调区间内由初始条件决定,即s=sign (sin θ0).式(2)表明,当s > 0时,在一定的范围内,转移功率xz单调递增,能量从泵浦光转移到信号光和闲频光;当s < 0时,在一定的范围内,能量会从信号光和闲频光返回泵浦光.h(x)是x的四次多项式,其表达式为

$ \begin{array}{l} h\left( x \right) = 4\left( {{P_{m0}} - x} \right)\left( {{P_{n0}} - x} \right)\left( {{P_{k0}} + x} \right)\left( {{P_{l0}} + x} \right)\\ - \frac{1}{4}{\left[ {K - \left( {\Delta \beta /\gamma + {Q_0}} \right)x + 2{x^2}} \right]^2} \end{array} $ (3)

式中,$K = 4\sqrt {{P_{m0}}{P_{n0}}{P_{k0}}{P_{l0}}} \cos {\theta _0}$Q0=Pm0+Pn0Pk0Pl0.

考虑没有闲频光输入时PIA-FWM过程,即有Pl0=0,代入式(3)可得h(x)=g(xx,其中g(x)表达式为

$ g\left( x \right) = 4\left( {{P_{m0}} - x} \right)\left( {{P_{n0}} - x} \right)\left( {{P_{k0}} + x} \right) - \frac{1}{4}{\left[ {\left( {\Delta \beta /\gamma + {Q_0}} \right)x - 2x} \right]^2}x $ (4)

显然,h(x)=0存在一个零根,其余三个非零根可通过求解g(x)=0得到.h(x)=0的非零根按从小到大排序为η1 < η2 < η3,具体表示为

$ \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}} \begin{array}{l} {\eta _1} = \sqrt[3]{{ - q/2 + \sqrt {{{\left( {q/2} \right)}^2} + {{\left( {p/3} \right)}^3}} }}\\ + \sqrt[3]{{ - q/2 - \sqrt {{{\left( {q/2} \right)}^2} + {{\left( {p/3} \right)}^3}} }} - \frac{1}{2}\left( {\frac{1}{3}\frac{{\Delta \beta }}{\gamma } - {Q_0}} \right) \end{array}\\ \begin{array}{l} {\eta _2} = \omega \cdot \sqrt[3]{{ - q/2 + \sqrt {{{\left( {q/2} \right)}^2} + {{\left( {p/3} \right)}^3}} }}\\ + {\omega ^2} \cdot \sqrt[3]{{ - q/2 - \sqrt {{{\left( {q/2} \right)}^2} + {{\left( {p/3} \right)}^3}} }} - \frac{1}{2}\left( {\frac{1}{3}\frac{{\Delta \beta }}{\gamma } - {Q_0}} \right) \end{array}\\ \begin{array}{l} {\eta _3} = {\omega ^2} \cdot \sqrt[3]{{ - q/2 + \sqrt {{{\left( {q/2} \right)}^2} + {{\left( {p/3} \right)}^3}} }}\\ + \omega \cdot \sqrt[3]{{ - q/2 - \sqrt {{{\left( {q/2} \right)}^2} + {{\left( {p/3} \right)}^3}} }} - \frac{1}{2}\left( {\frac{1}{3}\frac{{\Delta \beta }}{\gamma } - {Q_0}} \right) \end{array} \end{array}} \right. $ (5)

式中,$\omega = \left( { - 1 + \sqrt 3 {\rm{i}}} \right)/2$$p = \frac{4}{3}{P_0} - \frac{1}{3}{\left( {\frac{1}{3} \cdot \frac{{\Delta \beta }}{\gamma } - {Q_0}} \right)^2} - \frac{1}{{12}}\left( {Q_0^2 + \frac{{\Delta \beta }}{\gamma } + 2{Q_0} \cdot \frac{{\Delta \beta }}{\gamma }} \right)$$q = \frac{1}{3} \cdot \left( {\frac{1}{3}\frac{{\Delta \beta }}{\gamma } - {Q_0}} \right)\left[ {\frac{4}{3}{P_0} + \frac{1}{{12}}\left( {Q_0^2 + \frac{{\Delta \beta }}{\gamma } + 2{Q_0} \cdot \frac{{\Delta \beta }}{\gamma }} \right)} \right]$$ + \frac{2}{{27}} \cdot {\left( {\frac{1}{3}\frac{{\Delta \beta }}{\gamma } - {Q_0}} \right)^3} + \frac{4}{3}{R_0}$P0=Pm0Pn0Pm0Pk0Pn0Pk0Q0=Pm0+Pn0Pk0R0=Pm0Pn0Pk0.因此,式(3)也可表示为h(x)=C0(xη1)(xη2)(xη3)x,其中C0h(x)最高阶项的系数.

由式(2)可知,在单调区间上转移功率x与光纤长度z之间满足关系式$z = {\left( {2s\gamma } \right)^{ - 1}}\int_0^x {1/\sqrt {h\left( \tau \right)} } {\rm{d}}\tau $.利用第一类椭圆积分$u = \int_0^x {1/\sqrt {\left( {1 - {\tau ^2}} \right)\left( {1 - {k^2}{\tau ^2}} \right)} } {\rm{d}}\tau $与椭圆函数x=sn (u, k)之间的对应关系,满足式(2)的四波混频转移功率x的解析表达式为

$ x\left( z \right) = {\eta _1} - {\eta _1}/\left[ {1 - \eta \cdot {\rm{s}}{{\rm{n}}^2}\left( {\frac{z}{{{u_c}}},k} \right)} \right] $ (6)

式中

$ \left\{ \begin{array}{l} \eta = {\eta _2}/\left( {{\eta _2} - {\eta _1}} \right)\\ k = \sqrt {\eta \left( {1 - {\eta _1}/{\eta _3}} \right)} \\ {u_c} = s/\left[ {\gamma \sqrt {{C_0}\left( {{\eta _2} - {\eta _1}} \right){\eta _3}} } \right] \end{array} \right. $ (7)

式(7)中的参数可由初始条件代入式(5)计算得到.根据式(6)以及椭圆函数sn(u, k)的周期特性,转移功率x随着长度z会表现出周期性的震荡演化.对式(2)、(3)和(5)分析可知,当Δβ给定时,转移功率x的峰值可由η2给出;进一步优化Δβ,可获得转移功率的最大值为xmax=min(Pm0, Pn0).

输出信号的相位表达式可由转移功率给出,如闲频光的输出相位可表示为

$ {\theta _l}\left( z \right) = {\theta _{l0}} + a\gamma z + b\int_0^{\gamma z} {x\left( \tau \right){\rm{d}}\tau } = {\theta _{l0}} + \left( {a + b{\eta _1}} \right)\gamma z + {\varphi _{\rm{I}}} $ (8)

式中,θl0为积分常数,与输入的初始条件有关,即

$ \left\{ \begin{array}{l} a = \left( {2{P_0} - {Q_0}/2} \right) - \Delta \beta /\left( {2\gamma } \right)\\ b = 1 - {D_{mn}}/2\\ {\varphi _{\rm{I}}} = - b{\eta _1}\gamma {u_c} \cdot F\left( {{\rm{ \mathsf{ η} }},{\rm{k}}} \right) \end{array} \right. $ (9)

式中, $F\left( {\eta ,k} \right) = \int_0^\eta {1/\sqrt {\left( {1 - {\tau ^2}} \right)\left( {1 - {k^2}{\tau ^2}} \right)} } {\rm{d}}\tau $表示第一类椭圆积分.为验证式(6)~(9)的正确性,使用龙格库塔数值方法对式(1)进行求解,数值结果与解析结果完全一致,如图 1.式(6)~(9)给出了PIA-FWM的解析解形式,对于研究泵浦消耗情形下光纤中四波混频的演化过程提供了更精确的理论模型.

图 1 转移功率的数值和解析结果对比 Fig.1 Numerical and analytical results on transfer power
2 泵浦消耗情形的功率转移特性

以非简并的一般情况为例,考虑泵浦消耗下四波混频的功率转移特性.输入两泵浦光频率分别为ωp1ωp2,信号光频率为ωs,在无闲频光输入条件下发生PIA-FWM过程,消耗泵浦光功率产生频率为ωi的闲频光信号,各光场频率之间满足关系ωp1+ωp2=ωs+ωi,频谱分布如图 2所示.

图 2 非简并四波混频频谱分布 Fig.2 Non-degenerate FWM spectrum distribution

由式(6)和(7)可计算转移功率x与线性相位失配因子Δβ和光纤长度的变化关系,如图 3.计算中,输入两泵浦光功率均为0.2 W,信号光功率为1 mW,光纤非线性系数γ为16.7 W-1km-1,此时的最大转移功率为0.2 W.

图 3 转移功率随相位失配因子Δβ和光纤长度的变化关系 Fig.3 The relationship of transfer power with phase mismatch Δβ and fiber length

图 3可以看到,发生明显FWM的区域(如在峰值的80%以上),也称为准相位匹配范围,对应于图中黄色区域;在给定线性相位失配时,转移功率随光纤长度周期性变化,在每个周期内都能取得最大值.实际上,如果考虑光纤传播损耗的影响,四波混频转移功率只在第一个周期内达到最大.由图 3可知,转移功率大小依赖于光纤长度和线性相位失配等因素,随着光纤长度的增加,功率转移呈现周期性变化;由图 3(b)更清楚地看到,不同光纤长度对应的准相位匹配范围有所差异,总体而言,第2周期与第1周期的准相位匹配范围变窄.实际中使用固定长度的光纤,峰值转移功率和准相位匹配范围在第1个周期内取得最大.因此,本文主要考虑第1个周期内的四波混频过程.

3 泵浦消耗情形的相位匹配条件

泵浦消耗条件下的相位匹配条件可通过转移功率曲线确定.图 4(a)给出了不同光纤长度下转移功率x随线性相位失配Δβ变化的曲线,每条曲线的峰值位置如箭头所示,xp为给定光纤长度下获得的峰值转移功率,Δβ0为相应的线性相位失配因子.由图 4可知,随着光纤长度的递增,峰值转移功率xp快速增大,对应的相位失配因子Δβ0由负值趋向于0,准相位匹配范围也依次减小.图 4(b)进一步给出了峰值转移功率xp和相应线性失配Δβ0随光纤长度的变化曲线,可以看出,它们随光纤长度的变化具有相同的趋势.

图 4 泵浦消耗下相位匹配条件与转移功率曲线 Fig.4 Phase mismatch and transfer power of pump depletion

通过图 4的分析可知,在满足泵浦消耗下相位匹配条件时,经数值拟合可得到相位失配Δβ0与峰值转移功率xp的关系为

$ \Delta {\beta _0}\left( z \right) = - \gamma \left[ {{Q_0} - 2{x_{\rm{p}}}\left( {z - {L_0}} \right)} \right] $ (10)

式中,功率参数Q0=P10+P20P30P10P20P30分别为输入的两个泵浦功率和信号功率,z为光纤长度,L0表示峰值转移功率xp与对应Δβ0之间的平移位置参数,其大小与初始输入的总功率相关,γ为光纤非线性系数参量.式(10)给出了泵浦消耗条件下,相位失配因子与峰值转移功率之间的变化关系.结合图 4和式(10)可知,随着转移功率xp的增大,泵浦消耗使其产生的非线性相移减小,因此满足总相位匹配条件的线性相位失配因子Δβ0由负值趋近于0.当不考虑泵浦消耗(xp=0, P30=0)时,式(10)可以进一步简化为Δβ0=-γ(P10+P20)=-ΔβNL,与小信号近似条件下得到的结果完全一致.当泵浦完全消耗时,转移功率达到最大值并满足x=min(P10, P20),此时得到的相位失配因子表示为Δβmax=-γ(|P10P20|-P30).

需指出,在级联四波混频中,由于四波混频组合项非常多,理论分析异常复杂.因此,若利用上述分析方法确定FWM过程中准相位匹配的范围,忽略级联四波混频组合中不满足准相位匹配条件的耦合项,能够有效简化级联四波混频的计算和分析过程.

4 小信号近似与泵浦消耗情形的比较

小信号近似条件下,假设泵浦功率远大于信号光和闲频光功率,四波混频过程中泵浦功率保持不变,通过式(1)能够求出小信号近似下的解析解,四波混频参量增益可以表示为[1]

$ {G_{\rm{s}}} = \frac{{{P_{{\rm{i0}}}}}}{{{P_{\rm{s}}}}} = {\gamma ^2}P_0^2{\left[ {\frac{{\sinh \left( {gL} \right)}}{g}} \right]^2} $ (11)

式中,g为参量增益系数,其定义为

$ g = \sqrt {{{\left( {\gamma {P_0}} \right)}^2} - {{\left( {\frac{\kappa }{2}} \right)}^2}} $ (12)

式中,P0=P10+P20表示初始泵浦总功率,κββNL为总相位失配因子.满足相位匹配条件时κ=0,四波混频获得最大增益,参量增益系数达到最大gmax=γP0,此时相位失配因子满足Δβ=-ΔβNL=-γP0.由于无泵浦消耗,由式(10)和(11)可知,确定输入总泵浦功率P0和非线性系数γ后,相位匹配条件在四波混频过程中始终保持不变,并且满足总相位匹配κ=0时的线性相位失配Δβ总小于0.

图 5是小信号近似和泵浦消耗情形下FWM增益随光纤长度的演化曲线,光纤长度小于200 m时,两者的FWM增益曲线基本一致.随光纤长度的增加,小信号近似下FWM增益持续增大,达到一定距离后,增益对应的光功率已超过输入总功率,显然违背了能量守恒条件.因此,小信号近似下的解析解,只在光纤长度很短、泵浦消耗很小的情况下才能适用.由图 5可知,泵浦消耗下FWM增益随光纤长度的变化分三个区间:线性增益区、非线性增益区、增益饱和区.泵浦消耗时的线性增益区范围小于小信号近似情形;当泵浦接近完全消耗时,FWM增益趋于饱和.泵浦消耗条件下的解析解,揭示了相位匹配条件、转移功率和光纤长度等参量之间的内在联系,能够描述四波混频过程各阶段的特征,更准确反映四波混频的演化过程.泵浦消耗下得到的结果同样适用于小信号近似情形,使用中无需附加过多的约束条件,对FWM的实际应用具指导意义.

图 5 相位匹配时增益随光纤长度的演化曲线 Fig.5 FWM gain versus fiber length in phase matching
5 结论

对PIA-FWM耦合模方程进行了推导和分析,给出了非相敏四波混频的转移功率和相位的解析表示,以及转移功率极大值对线性相位失配因子的依赖关系.与小信号近似情形相比,泵浦消耗下的FWM解析解具有更广的适用范围.根据转移功率随光纤长度的演化特性,分析了泵浦消耗条件下相位匹配条件,研究表明,随着光纤长度的增加,与峰值转移功率对应的线性相位失配因子由负值逐渐趋于0.在此基础上,通过确定泵浦消耗下FWM准相位匹配范围,可为复杂场景下FWM的理论分析提供有效的方法,如简化级联FWM的计算和分析过程等.

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